例1 求函數(shù)y＝sinπ的單調(diào)增區(qū)間

誤解：令u＝π

∵y＝sinu在［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)上遞增

∴2kπ－≤π≤2kπ+

解得－4k≤x≤－4k+2

∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［－4k，－4k+2］(k∈Z)

分析：上述解答貌似正確，實(shí)則錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是，令u＝π，忽視了u是x的減函數(shù)，未考慮復(fù)合后單調(diào)性的變化

正解如下：

解法一：令u＝π，則u是x的減函數(shù)

又∵y＝sinu在［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)上為減函數(shù)，

∴原函數(shù)在［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)上遞增

設(shè)2kπ+≤π≤2kπ+

解得－4k－2≤x≤－4k(k∈Z)

∴原函數(shù)在［－4k－2，－4k］(k∈Z)上單調(diào)遞增

解法二：將原函數(shù)變形為y＝－sinπ

因此只需求sinπ＝y的減區(qū)間即可

∵u＝π為增函數(shù)

∴只需求sinu的遞減區(qū)間

∴2kπ+≤π≤2kπ+

解之得：4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)

∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［4k+2，4k+4］(k∈Z)

7．單調(diào)性

正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1

余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ，(2k+1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1

6．奇偶性

y＝sinx為奇函數(shù)，y＝cosx為偶函數(shù)

正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱

5．周期性

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

4．值域

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［－1，1］

其中正弦函數(shù)y=sinx,x∈R

①當(dāng)且僅當(dāng)x＝+2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1

②當(dāng)且僅當(dāng)x＝－+2kπ，k∈Z時(shí)，取得最小值－1

而余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R

①當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1

②當(dāng)且僅當(dāng)x＝(2k+1)π，k∈Z時(shí)，取得最小值－1

3．定義域：

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R［或(－∞，+∞)］，

分別記作： y＝sinx，x∈R　　 y＝cosx，x∈R

2．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(描點(diǎn)法)：

正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：

(0,0)　 (,1)　 (p,0)　 (,-1)　 (2p,0)

余弦函數(shù)y=cosx　 xÎ[0,2p]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是

(0,1)　 (,0)　 (p,-1)　 (,0)　 (2p,1)

1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的圖象，分別叫做正弦曲線和余弦曲線．

21.(13分) 已知函數(shù)。

(1)若時(shí)，函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求的取值范圍；

(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最小值

20. (13分)已知奇函數(shù)的定義域是,且,當(dāng)時(shí),

.

(1)求證:是周期函數(shù);

(2)求在區(qū)間上的解析式;

(3)求方程的根的個(gè)數(shù).