1．Tom was not pleased with his boss and planned to r_______.

5．變?yōu)橹骶�、抓好訓(xùn)練

變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達(dá)形式的變換等比比皆是，在訓(xùn)練中，強(qiáng)化變意識(shí)是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見(jiàn)問(wèn)題的解法，把課本中習(xí)題進(jìn)行歸類，并進(jìn)行分析比較，尋找解題規(guī)律。

針對(duì)高考中題目看，還要強(qiáng)化變角訓(xùn)練，經(jīng)常注意收集角間關(guān)系的觀察分析方法.另外如何把一個(gè)含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式的訓(xùn)練也要加強(qiáng)，這也是高考的重點(diǎn).同時(shí)應(yīng)掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目

4．加強(qiáng)三角函數(shù)應(yīng)用意識(shí)的訓(xùn)練

1999年高考理科第20題實(shí)質(zhì)是一個(gè)三角問(wèn)題，由于考生對(duì)三角函數(shù)的概念認(rèn)識(shí)膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成思維障礙，思路受阻.實(shí)際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐，是客觀實(shí)際的抽象，同時(shí)又廣泛地應(yīng)用于客觀實(shí)際，故應(yīng)培養(yǎng)實(shí)踐第一的觀點(diǎn).總之，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點(diǎn)是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求值問(wèn)題以及三角變換的方法。

3．解答三角高考題的策略。

(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。

(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓�式，促使差異的轉(zhuǎn)化

2．證明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。

(2)證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。

從近年高考的考查方向來(lái)看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%因此能否掌握好本重點(diǎn)內(nèi)容，在一定的程度上制約著在高考中成功與否。

1．兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)不僅對(duì)公式的正用逆用要熟悉，而且對(duì)公式的變形應(yīng)用也要熟悉；

(2)善于拆角、拼角

如，等；

(3)注意倍角的相對(duì)性

(4)要時(shí)時(shí)注意角的范圍

(5)化簡(jiǎn)要求

熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。

題型1：兩角和與差的三角函數(shù)

例1．已知，求cos。

分析：因?yàn)?sub>既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。

解法一：由已知sin+sin=1…………①，

cos+cos=0…………②，

①²+②²得 2+2cos；

∴ cos。

①²－②²得　 cos2+cos2+2cos()=－1，

即2cos()()=－1。

∴。

解法二：由①得…………③

由②得…………④

④÷③得

點(diǎn)評(píng)：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯(cuò)誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個(gè)，顯然前景并不樂(lè)觀，其錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對(duì)應(yīng)”巧應(yīng)用。

例2．已知

求_{[來(lái)源:ZXXK]}

分析：由韋達(dá)定理可得到進(jìn)而可以求出的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值

解法一：由韋達(dá)定理得tan，

所以tan

解法二：由韋達(dá)定理得tan，

所以tan_{[來(lái)源:]}

，

。

點(diǎn)評(píng)：(1)本例解法二比解法一要簡(jiǎn)捷，好的解法來(lái)源于熟練地掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識(shí)“最近發(fā)展區(qū)”。(2)運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn)。(3)對(duì)公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如

題型2：二倍角公式

例3．化簡(jiǎn)下列各式：

(1)，

(2)。

　 分析：(1)若注意到化簡(jiǎn)式是開(kāi)平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；(2)由于分子是一個(gè)平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，不難得到解題的切入點(diǎn)

解析：(1)因?yàn)?sub>，

又因，

所以，原式=。

(2)原式=

　　 =。

點(diǎn)評(píng)：(1)在二倍角公式中，兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。(2)化簡(jiǎn)題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn)，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡(jiǎn)技巧。(3)公式變形，。

例4．若。

分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。

解法一：由，

解法二：，

_{[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)]}

點(diǎn)評(píng)：此題若將的左邊展開(kāi)成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2·運(yùn)用二倍角公式，問(wèn)題就公難為易，化繁為簡(jiǎn)所以在解答有條件限制的求值問(wèn)題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，

如，

，

等。

題型3：輔助角公式

例5．已知正實(shí)數(shù)a,b滿足。

分析：從方程 的觀點(diǎn)考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時(shí)除以a，則已知等式可化為關(guān)于程，從而可求出由，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解

解法一：由題設(shè)得

解法二：

解法三：

點(diǎn)評(píng)：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過(guò)模式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強(qiáng)，但輔助角公式，，或

在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實(shí)質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點(diǎn)，所以解法三最佳。

例6．(2009江蘇卷)函數(shù)(為常數(shù)，)在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則=　　　 .

答案　 3

解析 　考查三角函數(shù)的周期知識(shí)

　，，所以，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力。

(2009北京文)(本小題共12分)已知函數(shù).

(Ⅰ)求的最小正周期；

(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值和最小值.

解析 本題主要考查特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦、三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查基本運(yùn)算能力．

解(Ⅰ)∵，

∴函數(shù)的最小正周期為.

(Ⅱ)由，∴，

∴在區(qū)間上的最大值為1，最小值為.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力。

題型4：三角函數(shù)式化簡(jiǎn)

例7．求sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°的值

解析：原式＝(1－cos40°)+(1+cos100°)+(sin70°－sin30°)

＝1+(cos100°－cos40°)+sin70°－

＝－sin70°sin30°+sin70°

＝－sin70°+sin70°＝。

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等式和運(yùn)算能力。

例8．已知函數(shù).

(Ⅰ)求的定義域；

(Ⅱ)設(shè)的第四象限的角，且，求的值

解析：(Ⅰ)由 得，

故在定義域?yàn)?sub> (Ⅱ)因?yàn)?sub>，且是第四象限的角,

　 所以

 故

　　　 。

題型5：三角函數(shù)求值

例9．設(shè)函數(shù)f(x)=cos²cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。

解析：(I)

依題意得 ．

(II)由(I)知，。

又當(dāng)時(shí)，，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故

例10．求函數(shù)＝2+的值域和最小正周期

解析：y=cos(x+) cos(x－)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，

∴函數(shù)y=cos(x+) cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。

題型6：三角函數(shù)綜合問(wèn)題

例11．(2009江蘇卷) 設(shè)向量

(1)若與垂直，求的值；　 　

(2)求的最大值;

(3)若，求證：∥.　　　

[解析] 本小題主要考查向量的基本概念，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明得基本能力。滿分14分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察以下知識(shí)點(diǎn)：1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0；2，特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標(biāo)表示求模，難度中等，計(jì)算量不大。

例12．設(shè)0<θ<，曲線x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ－y²sinθ=1有4個(gè)不同的交點(diǎn)。

(1)求θ的取值范圍；

(2)證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓，并求圓半徑的取值范圍

解析：(1)解方程組，得；

故兩條已知曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件為，(0<θ<)0<θ<。

(2)設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x_i，y_i)(i=1，2，3，4)，則：x_i²+y_i²=2cosθ∈(，2)(i=1，2，3，4)。

故四個(gè)交點(diǎn)共圓，并且這個(gè)圓的半徑r=cosθ∈().

(2009上海卷文)(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 .

　　 已知ΔABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量，

　， .

(1)　　　　　　　　　 若//，求證：ΔABC為等腰三角形；　　

(2)　　　　　　　　　 若⊥，邊長(zhǎng)c = 2，角C = ，求ΔABC的面積 .

證明：(1)

即，其中R是三角形ABC外接圓半徑，　　　

為等腰三角形

解(2)由題意可知

由余弦定理可知， 　　　　　　　

點(diǎn)評(píng)：本題注重考查應(yīng)用解方程組法處理曲線交點(diǎn)問(wèn)題，這也是曲線與方程的基本方法，同時(shí)本題也突出了對(duì)三角不等關(guān)系的考查。

題型7：三角函數(shù)的應(yīng)用

例13．有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)內(nèi)接矩形，即矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上，求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積．

分析：本題入手要解決好兩個(gè)問(wèn)題，

(1)內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應(yīng)該分別予以處理；

(2)求最大值問(wèn)題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量

解析：如圖2-19(1)設(shè)∠FOA=θ，則FG＝Rsinθ，

，

。

又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么

又∵0°＜θ＜60°，故當(dāng)cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′時(shí)，

如圖2-19 (2)，設(shè)∠FOA＝θ，則EF＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°

設(shè)矩形的面積為S．

那么S＝EFFG＝4R²sinθsin(30°-θ)

＝2R²［cos(2θ－30°)－cos30°]

又∵0＜θ＜30°，故當(dāng)cos(2θ－30°)＝1

。

5．三角等式的證明

(1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；

(2)三角條件等式的證題思路是通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。

4．三角函數(shù)的求值類型有三類

(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；

(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；

(3)給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角

3．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。(2)化簡(jiǎn)要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)

(1)降冪公式

；；。

(2)輔助角公式

，

。