7.(2009·石家莊二測)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x2,若直線y=x+a與曲線y=f(x)恰有兩個交點(diǎn),則a等于( )
A.0 B.2k(k∈Z)
C.2k或2k-(k∈Z) D.2k-(k∈Z)
答案:C
解析:依題意知,f(x)為周期函數(shù),數(shù)形結(jié)合,周期函數(shù)f(x)的圖象如下圖,由圖象可知符合條件的直線有兩類,選C.
6.(2009·石家莊市一測)已知F(x)=f(x+)-1是R上的奇函數(shù),an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2
答案:C
解析:因?yàn)?i>F(x)+F(-x)=0,所以f(x+)+f(-x+)=2,即若a+b=1,則f(a)+f(b)=2.于是由an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1),得2an=[f(0)+f(1)]+[f()+f()]+…+[f()+f()]+[f(1)+f(0)]=2n+2,所以an=n+1.故選C.
4.已知偶函數(shù)y=f(x)滿足條件f(x+1)=f(x-1),且當(dāng)x∈[-1,0]時,f(x)=3x+,則f(log5)的值等于( )
A.-1 B.-
C.- D.1
答案:D
解析:∵f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[(x+1)-1]=f(x)
∴2是f(x)的一個周期
∴f(log5)=f(log5+2)=f(log)
=f(-log)=f(log3)
∵-1<log3<0
∴f(log3)=3log3+=1,故選D.
3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于y=x對稱,記g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1].若y=g(x)在區(qū)間[,2]上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[2,+∞) B.(0,1)∪(1,2)
C.[,1) D.(0,]
答案:D
解析:用特值法.∵f(x)=logax,則g(x)=logax[logax+loga2-1].令a=2,則g(x)=(log2x)2,當(dāng)≤x≤1時, log2x單調(diào)遞增.但-1≤log2x≤0.∴g(x)=(log2x)2在上單調(diào)遞減,不滿足,同理可驗(yàn)當(dāng)a=不符合題意,故選D.
2.(2008·遼寧)設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時f(x)是單調(diào)函數(shù),則滿足f(x)=f的所有x之和為( )
A.-3 B.3
C.-8 D.8
答案:C
解析:由題意得=-x或=x,即x2+5x+3=0或x2+3x-3=0,則x1+x2=-5,x3+x4=-3,所求滿足f(x)=f的所有x之和為-8.故選C.
1.若A={x∈Z|2≤22-x<8},B={x∈R>1},則A∩(∁RB)的元素個數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案:C
解析:A={0,1},
B=.
∴A∩(∁RB)={0,1}.故選C.
15.將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里,每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物,不同的種植方法共有多少種?
解:設(shè)由左到右五塊田中要種a,b,c三種作物,不妨先設(shè)第一塊種a,則第二塊可種b,c,有兩種選法.同理,如果第二塊種b,則第三塊可種a或c,也有兩種選法,由分步計(jì)數(shù)原理共有1×2×2×2×2=16.其中要去掉ababa和acaca兩種方法.
故a種作物種在第一塊田中時的種法數(shù)有16-2=14(種).
同理b種或c種作物種在第一塊田中時的種法數(shù)也都為14種.
所以符合要求的種植方法共有
3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(種).
14.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)滿足a≠b.且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離
|OP|≥5.求這樣的點(diǎn)P的個數(shù).
解:按點(diǎn)P的坐標(biāo)a將其分為6類:
(1)若a=1,則b=5或6,有2個點(diǎn);
(2)若a=2,則b=5或6,有2個點(diǎn);
(3)若a=3,則b=5或6或4,有3個點(diǎn);
(4)若a=4,則b=3或5或6,有3個點(diǎn);
(5)若a=5,則b=1,2,3,4,6,有5個點(diǎn);
(6)若a=6,則b=1,2,3,4,5,有5個點(diǎn);
∴共有2+2+3+3+5+5=20(個)點(diǎn).
13.用5種不同的顏色給圖中所給出的四個區(qū)域涂色,每個區(qū)域涂一種顏色,若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色,那么共有多少種不同的涂色方法?
1 |
3 |
2 |
4 |
解:完成該件事可分步進(jìn)行.
涂區(qū)域1,有5種顏色可選.
涂區(qū)域2,有4種顏色可選.
涂區(qū)域3,可先分類:若區(qū)域3的顏色與2相同,則區(qū)域4有4種顏色可選.若區(qū)域3的顏色與2不同,則區(qū)域3有3種顏色可選,此時區(qū)域4有3種顏色可選.
所以共有5×4×(1×4+3×3)=260種涂色方法.
12.(1)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項(xiàng)目,每人報(bào)一項(xiàng),共有多少種報(bào)名方法?
(2)4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍,共有多少種可能的結(jié)果?
解:(1)要完成的是“4名同學(xué)每人從三個項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事,因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng),四個都報(bào)完才算完成,于是按人分步,且分為四步,又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng),選法為3種,所以共有:3×3×3×3=81種報(bào)名方法.
(2)完成的是“三個項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事,因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得,三項(xiàng)冠軍都有得主,這件事才算完成,于是應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步.而每項(xiàng)冠軍是四人中的某一人,有4種可能的情況,于是共有:4×4×4=43=64種可能的情況.
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