Question

設(shè)N=301×302×…×2005×2006，請問：
（1）N的末尾一共會出現(xiàn)多少個連續(xù)的數(shù)字“0”？
（2）用N不斷除以12，直到結(jié)果不能被12整除為止，一共可以除以多少次12？

Answer 1

考點：數(shù)字問題

專題：整除性問題

分析：（1）一個因數(shù)2與一個因數(shù)相乘，會在乘積的末尾增加一個0，連續(xù)的自然數(shù)相乘，因數(shù)2足夠多，只需看因數(shù)5的個數(shù)即可求解；
（2）第二問就要看因數(shù)2與因數(shù)3的個數(shù)，分別求出有多少個因數(shù)3和多少個因數(shù)2，找出較少的即可求解．

解答： 解：（1）N中因數(shù)2足夠多，因此末尾0的個數(shù)取決于N中因數(shù)5的個數(shù)．
2006-301+1=1706
因數(shù)5的個數(shù)：
2006÷5+2006÷25+2006÷125+2006÷625-（300÷5+300÷25+300÷125）
=401+80+16+3-60-12-2
=426（個）
所以，N末尾有426個連續(xù)0．

（2）N中因數(shù)3比因數(shù)4多，因此最多可以除去多少次12，取決于N中因數(shù)4的個數(shù)．
N中因數(shù)2的個數(shù)：
2006÷2+2006÷4+2006÷8+2006÷16+…+2006÷1024-300÷2+300÷4+300÷8+…+300÷256）
=1003+501+250+125+62+31+15+7+3+1-150-75-37-18-9-4-2-1
=1702
則N中因數(shù)4的個數(shù)為：1702÷2=851（個）．
所以，用N不斷除以12，直到結(jié)果不能被12整除為止，一共可以除以851次12．

點評：（1）因數(shù)2足夠多，只需看因數(shù)5的個數(shù)即可求解．
（2）看因數(shù)2與因數(shù)3的個數(shù)，分別求出有多少個因數(shù)3和多少個因數(shù)2．