Question

將指定的數(shù)填入下表中，要求每個(gè)格子里一個(gè)數(shù)字，表中的每橫行從左到右數(shù)字由小到大，每豎列從上到下數(shù)字也由小到大．
（1）將1-4的自然數(shù)填入表①中，共有多少種方法？
（2）將1-6的自然數(shù)填入表②中，共有多少種方法？
（3）將1-9的自然數(shù)填入表③中，共有多少種方法．

Answer 1

考點(diǎn)：排列組合

專題：壓軸題,傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：（1）要符合每橫行從左到右數(shù)字由小到大，每豎列從上到下數(shù)字也由小到大排列．圖一中，1只能在A的位置，4只能在D的位置，2和3可在B、C這兩個(gè)格子中排列，所以共有2種方法；
（2）圖二中，1只能在A的位置，6只能在F的位置，2只能在B和D，5只能在C、E的位置，數(shù)字5在C，有2種排列，數(shù)字5在E，又有3種排列方法；所以一共有2+3=5（種）．
（3）由（2）的規(guī)律已經(jīng)知道，6格是5種，1、2、3確定后，剩下的6個(gè)一定是5種；由此進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）如圖，1和4是固定的，另外兩格隨便選，2種．

如下：
；
（2）1和6是固定的，其余的不確定：

（3）由（2）的規(guī)律已經(jīng)知道，6格是5種；
1、2、3確定后，剩下的6個(gè)一定是5種，比如：

同理：
也對(duì)各對(duì)應(yīng)5個(gè)；
但是例外，對(duì)應(yīng)的不是5個(gè)．因?yàn)榈谝慌庞疫叺臄?shù)限制了下面的數(shù)．
如下：

所以：共計(jì)5+5+5+4+2=21（種）
同理，以上所有情況倒過(guò)來(lái)后都有一一對(duì)應(yīng)的種類
翻了一番，共21×2=42（種）．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是根據(jù)題干的要求先確定出最大和最小的數(shù)字的位置．?dāng)?shù)字問(wèn)題是排列計(jì)數(shù)原理中的一大類問(wèn)題，條件變換多樣，把排列問(wèn)題包含在數(shù)字問(wèn)題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，很多題目要分類討論，要做到不重不漏．