Question

如圖，以Rt△ABC的邊AC為直徑的⊙O交斜邊AB于點D，點F為BC上一點，AF交⊙O于點E，且DE∥AC．
（1）求證：∠CAF=∠B．
（2）若⊙O的半徑為4，AE=2AD，求DE的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理

專題：

分析：（1）連接CE，根據(jù)圓周角定理可知∠AEC=90°，故∠CAF+∠ACE=90°．再由題意可知∠B+∠DAC=90°，根據(jù)DE∥AC，可得

CE

=

AD

，故

CD

=

AE

，由圓周角定理可知∠ACE=∠DAC，故可得出結論；
（2）連接DC，由（1）知DE∥AC，故可得出AD=CE，由全等三角形的判定定理得出Rt△ACD≌Rt△CAE，所以CD=AE=2AD，設AD=x，則CD=2x，在Rt△ABD中根據(jù)勾股定理可求出AD，CD的長，過D作DM⊥AC，過O作ON⊥ED，由

1

2

AD•CD=

1

2

AC•DM可得出DM的長，連OD，在Rt△OND中，由勾股定理可求出DN的長，由ED=2DN即可得出結論．

解答：（1）證明：連接CE，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAF+∠ACE=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠DAC=90°，
∵DE∥AC，
∴

CE

=

AD

，
∴

CD

=

AE

，
∴∠ACE=∠DAC，
∴∠CAF=∠B；

（2）解：連DC，
∵DE∥AB，
∴∠CAE=∠AED，
∴AD=BE，
在Rt△ACD與Rt△CAE中，
∵

AC=CA AD=CE

，
∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL），
∴CD=AE=2AD，
設AD=x，則CD=2x，
在Rt△ACD中，x²+（2x）²=8²，
∴AD=

8 5

5

，CD=

16 5

5

．
過D作DM⊥AC，過O作ON⊥ED，
∴

1

2

AD•BD=

1

2

AC•DM，
∴DM=

AD•BD

AB

=

8 5 5 × 16 5 5

8

=

16

5

=ON，
連OD，在Rt△OND中，
∵DN=

OD2-ON2

=

42-( 16 5 )2

=

12

5

∴ED=2DN=

24

5

．

點評：本題考查的是圓周角角定理，即在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．