Question

如圖，BC垂直平分AD，垂足為E，AD平分∠BAC
（1）求證：△ABE≌△ACE；    
（2）求證：AB=CD；
（3）若點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上，∠F=∠BCD，BD=DF，求證：CD所在直線是BF的垂直平分線．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠CAE=∠BAE和∠AEC=∠AEB=90°，即可證明△ABE≌△ACE；
（2）根據(jù)△ABE≌△ACE，可得AB=AC，再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得AC=CD，AB=BD，即可解題；
（3）延長(zhǎng)CD交BF于G點(diǎn)，易證CD⊥BF，即可證明RT△BDG≌RT△FDG，可得BG=FG，即可解題．

解答：證明：（1）∵AD平分∠BAC
∴∠CAE=∠BAE，
∵AD平分∠BAC
∴∠AEC=∠AEB=90°，
在△ABE和△ACE中，

∠CAE=∠BAE AE=AE ∠AEC=∠AEB=90°

，
∴△ABE≌△ACE，（ASA）
（2）∵BC垂直平分AD，
∴AC=CD，AB=BD，
∵△ABE≌△ACE，
∴AB=AC，
∴AB=CD；
（3）延長(zhǎng)CD交BF于G點(diǎn)，

∵∠F+∠CBG=90°，∠F=∠BCD，
∴∠BCD+∠CBG=90°，
∴CD⊥BF，
在RT△BDG和RT△FDG中，

BC=DF DG=DG

，
∴RT△BDG≌RT△FDG（HL），
∴BG=FG，
∴CD所在直線是BF的垂直平分線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABE≌△ACE和RT△BDG≌RT△FDG是解題的關(guān)鍵．