Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-），點(diǎn)M是拋物線C2：y=mx2-2mx-3m(m<0)的頂點(diǎn).

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）“蛋線”在第四象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得∆PBC的面積最大？若存在，求出∆PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)∆BDM為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出m的值.(參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，則M、N兩點(diǎn)間的距離為MN=.

 

Answer 1

（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在，；（3）-1或-.

【解析】

試題分析：（1）將y=mx2-2mx-3m化為交點(diǎn)式，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）先用待定系數(shù)法得到拋物線C1的解析式，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式和配方法得到△PBC面積的最大值；

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分兩種情況：①DM2+BD2=MB2時(shí)；②DM2+MB2=BD2時(shí)，討論即可求得m的值．

試題解析：（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），

∵m≠0，

∴當(dāng)y=0時(shí)，x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）設(shè)C1：y=ax2+bx+c，將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

，解得，

故C1：y=x2-x-．

依題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n2-n-）(0<n<3)

則S∆PBC=S∆POC+S∆BOP-S∆BOC =××n+×3×(-n2+n+)-×3×

=-(n-)2+

∵-＜0,

∴當(dāng)n=時(shí)S∆PBC的最大值是

（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，頂點(diǎn)M坐標(biāo)（1，-4m），

當(dāng)x=0時(shí)，y=-3m，

∴D（0，-3m），B（3，0），

∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，

MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，

BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，

當(dāng)△BDM為Rt△時(shí)有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．

①DM2+BD2=MB2時(shí)有：m2+1+9m2+9=16m2+4，

解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；

②DM2+MB2=BD2時(shí)有：m2+1+16m2+4=9m2+9，

解得m=-（m=舍去）．

綜上，m=-1或-時(shí)，△BDM為直角三角形．

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題．