Question

如圖1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點D，取CB的中點E，DE的延長線與AB的延長線交于點P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若OB=BP，AD=6，求BC的長；

（3）如圖2，連接OD，AE相交于點F，若tan∠C=2，求的值．

圖1 圖2

 

Answer 1

（1）證明見解析；

（2）BC=4；

（3）．

【解析】

試題分析：（1）連接BD、DO，OE，只要證明∠ODE=90°，OD是半徑，就可得到DE是⊙O的切線；

（2）根據(jù)△ADB∽△BDC，從而根據(jù)相似比不難求得BD的長；

（3）根據(jù)平行線分線段成比例進行分析．

試題解析：（1）如圖1，連接BD，OD，OE.

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠CDB=90°.

∵E是BC中點，

∴DE=EC=EB，

又∵OD=OB，OE=OE，

∴△ODE≌△OBE（SSS），

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∴OD⊥DP，

∴PD是⊙O的切線；

（2）∵OB=BP，∠ODP=90°，

∴DB=OB=BP，即DB=OB=OD.

∴△ODB是等邊三角形.

∴∠DOB=60°.

∴∠A=30°，

又∵∠ABC=90°，

∴∠C=60°.

∴∠CBD=30°.

∴，，

設(shè)，，

∵AD=6，

∴.

∴.

∴BC=4；

（3）如圖2，連接BD，OE.

∵tan∠C=2，∠CDB=90°，

∴=2.

又∵∠ABD=∠C=60°，

∴=2，

設(shè)，，，

∴AC=.

∵O是AB中點，E是BC中點，

∴，

∴，

∴．

考點：圓綜合題．