Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，1）和點(diǎn)B（﹣1，﹣1），拋物線C2：y＝2x2+x+1，動(dòng)直線x＝t與拋物線C1交于點(diǎn)N，與拋物線C2交于點(diǎn)M．

（1）求拋物線C1的表達(dá)式；

（2）當(dāng)△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線C1與y軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)M在y軸右側(cè)的拋物線C2上，連接AM交y軸于點(diǎn)K，連接KN，在平面內(nèi)有一點(diǎn)Q，連接KQ和QN，當(dāng)KQ＝1且∠KNQ＝∠BNP時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣1；（2）t的值為1或0；（3）滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)圖形分∠ANM=90°和∠AMN=90°兩種情況解答即可；

（3）根據(jù)題意畫出滿足條件圖形，可以找到AN為△KNP對(duì)稱軸，由對(duì)稱性找到第一個(gè)滿足條件Q，再通過延長(zhǎng)和圓的對(duì)稱性找到剩余三個(gè)點(diǎn)，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．

（1）∵拋物線C1：y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，1）和點(diǎn)B（﹣1，﹣1）

∴

解得：

∴拋物線C1：解析式為y＝x2+x﹣1

（2）∵動(dòng)直線x＝t與拋物線C1交于點(diǎn)N，與拋物線C2交于點(diǎn)M

∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為t2+t﹣1，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2t2+t+1

∴MN＝（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）＝t2+2

①當(dāng)∠ANM＝90°，AN＝MN時(shí)，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）

∴AN＝t﹣（﹣2）＝t+2

∵MN＝t2+2

∴t2+2＝t+2

∴t1＝0（舍去），t2＝1

∴t＝1

②當(dāng)∠AMN＝90°，AM＝MN時(shí)，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）

∴AM＝t﹣（﹣2）＝t+2，

∵MN＝t2+2

∴t2+2＝t+2

∴t1＝0，t2＝1（舍去）

∴t＝0

故t的值為1或0；

（3）由（2）可知t＝1時(shí)M位于y軸右側(cè)，根據(jù)題意畫出示意圖如圖：

易得K（0，3），B、O、N三點(diǎn)共線

∵A（﹣2，1），N（1，1），P（0，﹣1）

∴點(diǎn)K、P關(guān)于直線AN對(duì)稱

設(shè)半徑為1的⊙K與y軸下方交點(diǎn)為Q2，則其坐標(biāo)為（0，2）

∴Q2與點(diǎn)O關(guān)于直線AN對(duì)稱

∴Q2是滿足條件∠KNQ＝∠BNP．

則NQ2延長(zhǎng)線與⊙K交點(diǎn)Q1，Q1、Q2關(guān)于KN的對(duì)稱點(diǎn)Q3、Q4也滿足∠KNQ＝∠BNP．

由圖形易得Q1（﹣1，3）

設(shè)點(diǎn)Q3坐標(biāo)為（m，n），由對(duì)稱性可知Q3N＝NQ1＝BN＝，

∵⊙K半徑為1

∴

解得 或．

同理，設(shè)點(diǎn)Q4坐標(biāo)為（m，n），由對(duì)稱性可知Q4N＝NQ2＝NO＝，

∴

解得 或．

∴滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）．