Question

【題目】（感知）“如圖①，，平分，作，、分別交射線、于、兩點(diǎn)，連結(jié)，求的度數(shù)”為了求解問題，某同學(xué)做了如下的分析，

“過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，”進(jìn)而求解，則________．

（拓展）如圖②，一般地，設(shè)，平分，作，、分別交射線、于、兩點(diǎn)，連結(jié)．

（1）求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）

（2）若，，，則________．

Answer 1

【答案】45；（1）；（2）．

【解析】

先證明四邊形ODCE是矩形,得∠DCA＝∠BCE,再證明△CAD≌△CBE（ASA）,得AC＝BC,進(jìn)而可求得∠ABC;

（1）過點(diǎn)C作CD⊥OM于點(diǎn)D,CE⊥ON于點(diǎn)E,證明△ACD≌△BCE（ASA）,即可求得∠ABC;

（2）過點(diǎn)C作CD⊥OM于點(diǎn)D,CE⊥ON于點(diǎn)E,證明△ACD≌△BCE（ASA）,△OCD≌△OCE（HL）,可求得OD＝OE＝5,再利用特殊角三角函數(shù)值即可．

解：【感知】如圖①,∵CD⊥OM,CE⊥ON,

∴∠CDO＝∠CEO＝∠MON＝90°,

∴四邊形ODCE是矩形,

∴∠DCE＝∠ACB＝90°,

∴∠DCA+∠ACE＝∠BCE+∠ACE,

∴∠DCA＝∠BCE,

∵OC平分∠MON,

∴CD＝CE,

∴△CAD≌△CBE（ASA）,

∴AC＝BC,

∴∠CAB＝∠CBA,

∵∠CAB+∠CBA＝90°,

∴∠CAB＝∠CBA＝45,°

故答案為:45°;

【拓展】

(1)如圖②,過點(diǎn)C作CD⊥OM于點(diǎn)D,CE⊥ON于點(diǎn)E,

∴∠ADC＝∠BEC＝90°,

∵OC平分∠MON,

∴CD＝CE,

∵∠DCE＝180°﹣α,∠ACB＝180°﹣α,

∴∠DCE＝∠ACB,

∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE,

即∠DCA＝∠ECB,

∴△ACD≌△BCE（ASA）,

∴CA＝CB,

∴∠ABC＝∠BAC＝;

（2）如圖③,過點(diǎn)C作CD⊥OM于點(diǎn)D,CE⊥ON于點(diǎn)E,

由（1）知:△ACD≌△BCE（ASA）,△OCD≌△OCE（HL）,

∴AD＝BE,OD＝OE

∵OD+OE＝OA﹣AD+OB+BE＝OA+OB＝6+4＝10,

∴OD＝OE＝5,

∵OC平分∠MON,

∴∠AOC＝∠MON＝30°,

∵＝cos∠AOC,

∴OC＝．