Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與x軸交于C，D兩點(diǎn)．點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q（Q與B不重合），使△CDQ的面積等于△BCD的面積？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；（2）當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．

【解析】

（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y=a（x-1）2+4，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解；（2）先求出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)，連接AB′與x軸相交，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AB′的解析式，再求出與x軸的交點(diǎn)即可．（3）S△CDQ=S△BCD且CD是兩三角形的公共底邊知|yQ|=yB=3，據(jù)此得yQ=3或yQ=-3，再分別求解可得．

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），

∴設(shè)拋物線的解析式y=a（x﹣1）2+4，

把點(diǎn)B（0，3）代入得，a+4=3，

解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；

（2）點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，﹣3），

由軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，

設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，

解得，

∴直線AB′的解析式為y=7x﹣3，

令y=0，則7x﹣3=0，

解得x=，

所以，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．

（3）∵S△CDQ=S△BCD，且CD是兩三角形的公共底邊，

∴|yQ|=yB=3，

則yQ=3或yQ=﹣3，

當(dāng)yQ=3時(shí)，﹣（x﹣1）2+4=3，

解得：x=0或x=2，

則點(diǎn)Q（2，3）；

當(dāng)yQ=﹣3時(shí)，﹣（x﹣1）2+4=﹣3，

解得：x=1﹣或x=1+，

則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．