Question

8．如圖，E，F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的點，AE=CF．
（1）猜想BE與DF有怎樣的位置關系BE∥DF．
（2）猜想BE與DF有怎樣的數量關系BE=DF．
（3）從（1）、（2）中選一個你喜歡的結論給予證明．

Answer 1

分析 由E、F是?ABCD的對角線AC上的兩點，且AE=CF，易證得△ABE≌△CDF（SAS），繼而可判定BE=DF，進一步證出BE∥DF．

解答 解：（1）BE∥DF；∴∠AEB=∠CFD，∴∠BEF=∠DFE，∴BE∥DF
故答案為：BE∥DF；
（2）BE=DF．
故答案為：BE=DF；
（3）①選BE=DF；理由：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF．②選BE∥DF；理由：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE∥DF．

點評 此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質．注意證得△ABE≌△CDF是關鍵．