【題目】如圖,直線y=﹣ x+1與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一點(diǎn),連接PA、PB、PO,若△POA的面積是△POB面積的 倍.
①求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出QP+QA的最小值;
(3)點(diǎn)M為直線AB上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)O、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:∵直線y=﹣ x+1與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,
∴A(2,0),B(0,1),
∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),
∴ ,
∴
∴拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1
(2)解:①由(1)知,A(2,0),B(0,1),
∴OA=2,OB=1,
由(1)知,拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1,
∵點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一點(diǎn),
∴設(shè)P(a,﹣a2+ a+1),((a>0,﹣a2+ a+1>0),
∴S△POA= OA×Py= ×2×(﹣a2+ a+1)=﹣a2+ a+1
S△POB= OB×Px= ×1×a= a
∵△POA的面積是△POB面積的 倍.
∴﹣a2+ a+1= × a,
∴a= 或a=﹣ (舍)
∴P( ,1);
②如圖1,
由(1)知,拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1,
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x= ,拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C(﹣ ,0),
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),
∴QP+QA的最小值就是PC=
(3)解:①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時(shí),MN=OB=1,MN∥OB,
∵點(diǎn)N在直線AB上,
∴設(shè)M(m,﹣ m+1),
∴N(m,﹣m2+ m+1),
∴MN=|﹣m2+ m+1﹣(﹣ m+1)|=|m2﹣2m|=1,
Ⅰ、m2﹣2m=1,
解得,m=1± ,
∴M(1+ , (1﹣ ))或M(1﹣ , (1+ ))
Ⅱ、m2﹣2m=﹣1,
解得,m=1,
∴M(1, );
②當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí),OB與MN互相平分,交點(diǎn)為H,
∴OH=BH,MH=NH,
∵B(0,1),O(0,0),
∴H(0, ),
設(shè)M(n,﹣ n+1),N(d,﹣d2+ d+1)
∴ ,
∴ 或 ,
∴M(﹣(1+ ), (3+ ))或M(﹣(1﹣ ), (3﹣ ));
即:滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)(1+ , (1﹣ ))或(1﹣ ,﹣ (1+ ))或(1, )或M(﹣(1+ ), (3+ ))或M(﹣(1﹣ ), (3﹣ ))
【解析】(1) 先通過(guò)直線解析式求AB求出坐標(biāo),再代入拋物線解析式 ;(2)設(shè)出P的坐標(biāo),用P的橫坐標(biāo)a表示其 縱坐標(biāo),再表示△POA的面積與△POB面積,按照題意列出關(guān)于a的方程;(3)利用對(duì)稱(chēng)法求兩線段和最小值,A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C,連接PC與對(duì)稱(chēng)軸相交即可求出Q點(diǎn);(4)“以點(diǎn)O、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形”可找出一對(duì)固定點(diǎn),對(duì)它進(jìn)行分類(lèi)討論: OB為平行四邊形的邊;OB為對(duì)角線,OB與MN互相平分;按照幾何關(guān)系構(gòu)建關(guān)于M的橫坐標(biāo)為未知數(shù)的方程求解.
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(1)根據(jù)圖中條件,請(qǐng)用兩種方法表示該陰影圖形的總面積
方法1:_________________方法2__________________;
由此可得等量關(guān)系:______________________________;
應(yīng)用該等量關(guān)系解決下列問(wèn)題:
(2)若圖中的a,b()滿足,,求的值;
(3)若,求的值.
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【題目】為了抗擊新冠病毒,保護(hù)學(xué)生和教師的生命安全,新希望中學(xué)元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計(jì)盒,甲,乙兩種口罩的售價(jià)分別是元/盒,元/盒;甲,乙兩 種口罩的數(shù)量分別是個(gè)/盒,個(gè)/盒.
(1)求新希望中學(xué)甲、乙兩種口罩各購(gòu)進(jìn)了多少盒?
(2)按照教育局要求,學(xué)校必須儲(chǔ)備兩周的用量,新希望中學(xué)師生共計(jì)人,每人每天個(gè)口罩,問(wèn)購(gòu)買(mǎi)的口罩?jǐn)?shù)量是否能滿足教育局的要求?
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(1)求證:CD是⊙O的切線;
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(1)當(dāng)x取何值時(shí)y1>y2?
(2)當(dāng)直線BA平分△BOC的面積時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo).
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【題目】已知:如圖,點(diǎn)P在線段AB外,且PA=PB,求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,在證明該結(jié)論時(shí),需添加輔助線,則作法不正確的是( 。
A. 作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C
B. 過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C且AC=BC
C. 取AB中點(diǎn)C,連接PC
D. 過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C
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【題目】甲乙兩地相距72千米,李磊騎自行車(chē)往返兩地一共用了7小時(shí),已知他去時(shí)的平均速度比返回時(shí)的平均速度快,求李磊去時(shí)的平均速度是多少?
小蕓同學(xué)解法如下:
解:設(shè)李磊去時(shí)的平均速度是x千米/時(shí),則返回時(shí)的平均速度是(1-)x千米/時(shí),由題意得:+=7,…
你認(rèn)為小蕓同學(xué)的解法正確嗎?若正確,請(qǐng)寫(xiě)出該方程所依據(jù)的等量關(guān)系,并完成剩下的步驟;若不正確,請(qǐng)說(shuō)明原因,并完整地求解問(wèn)題.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,﹣2).
(1)分別求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)將直線OA向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的交點(diǎn)為C,連接AB,AC,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積.
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【題目】如圖,在長(zhǎng)方形中,為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為且滿足,點(diǎn)在第一象限內(nèi),點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā),以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著的線路移動(dòng).
求點(diǎn)的坐標(biāo)為 ;當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)秒時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為
在移動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)秒時(shí),求的面積.
在的條件下,坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn),使的面積與的面積相等,若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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