Question

【題目】已知：如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交BC點D，交AB于點E，過點A作AF∥CE交直線DE于點F．

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當(dāng)∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請證明你的結(jié)論；

（3）四邊形ACEF有可能是矩形嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形，見解析；（3）不可能是矩形，見解析

【解析】

（1）根據(jù)DF為BC垂直平分線，得出BD=CD，DF⊥BC，根據(jù)∠ACB=∠BDF=90°得出DF∥AC，結(jié)合AF∥CE，從而得到平行四邊形；

（2）當(dāng)∠B=30°時，AC=AB，CE=AB，從而得到AC=CE，得到菱形；

（3）根據(jù)CE在△ABC內(nèi)部，∠ACE＜∠ACB=90°，則不可能為正方形．

解：（1）證明：∵ED是BC的垂直平分線，

∴DF⊥BC

∴∠FDB=90°

∵∠ACB=90°

∴AC∥DF

∵AF∥CE

∴四邊形ACEF是平行四邊形

（2） 解：當(dāng)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形．證明如下：

∵∠B=30°，∠ACB=90°，

∴

∵ED是BC的垂直平分線 ∠ACB=90°

∴

∴EC=AC

∵由（1）得四邊形ACEF是平行四邊形

∴四邊形ACEF是菱形

（3）四邊形ACEF不可能是矩形．理由如下：

假如，四邊形ACEF是矩形，則有∠ACE=90°

而∠ACE＜90°

∴四邊形ACEF不可能是矩形．