【題目】如圖1,已知二次函數(shù)y=mx2+3mx﹣m的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),頂點(diǎn)D和點(diǎn)B關(guān)于過點(diǎn)A的直線l:y=﹣x﹣對(duì)稱.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及二次函數(shù)解析式;
(2)如圖2,作直線AD,過點(diǎn)B作AD的平行線交直線1于點(diǎn)E,若點(diǎn)P是直線AD上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線AE上的一動(dòng)點(diǎn).連接DQ、QP、PE,試求DQ+QP+PE的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由:
(3)將二次函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,平移后的二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)M,其橫坐標(biāo)為3,在y軸上是否存在點(diǎn)F,使得∠MAF=45°?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)A(﹣,0),B(,0);拋物線解析式y=x2+x﹣;(2)12;(3)(0,),(0,﹣)
【解析】
(1)在y=mx2+3mx﹣m中令y=0,解方程求得x的值即可求得A、B的坐標(biāo),繼而根據(jù)已知求出點(diǎn)D的坐標(biāo),把點(diǎn)D坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y=mx2+3mx﹣m利用待定系數(shù)法求得m即可得函數(shù)解析式;
(2)先求出直線AD解析式,再根據(jù)直線BE∥AD,求得直線BE解析式,繼而可得點(diǎn)E坐標(biāo),如圖2,作點(diǎn)P關(guān)于AE 的對(duì)稱點(diǎn)P',作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E',根據(jù)對(duì)稱性可得PQ=P'Q,PE=EP'=P'E',從而有DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E',可知當(dāng)D,Q,E'三點(diǎn)共線時(shí),DQ+PQ+PE值最小,即DQ+PQ+PE最小值為DE',根據(jù)D、E'坐標(biāo)即可求得答案;
(3)分情況進(jìn)行討論即可得答案.
(1)∵令y=0,
∴0=m x2+3mx﹣m,
∴x1=,x2=﹣,
∴A(﹣,0),B(,0),
∴頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣,
∵直線y=﹣x﹣ 與x軸所成銳角為30°,且D,B關(guān)于y=﹣x﹣對(duì)稱,
∴∠DAB=60°,且D點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣,
∴D(﹣,﹣3),
∴﹣3=m﹣m﹣m,
∴m=,
∴拋物線解析式y=x2+x﹣;
(2)∵A(﹣,0),D(﹣,﹣3),
∴直線AD解析式y=﹣x﹣,
∵直線BE∥AD,
∴直線BE解析式y=﹣x+,
∴﹣x﹣=﹣x+,
∴x=,
∴E(,﹣3),
如圖2,作點(diǎn)P關(guān)于AE 的對(duì)稱點(diǎn)P',作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E',
根據(jù)對(duì)稱性可得PQ=P'Q,PE=EP'=P'E',
∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E',
∴當(dāng)D,Q,E'三點(diǎn)共線時(shí),DQ+PQ+PE值最小,
即DQ+PQ+PE最小值為DE',
∵D(﹣,﹣3),E'(,3),
∴DE'=12,
∴DQ+PQ+PE最小值為12;
(3)∵拋物線y=(x+)2﹣3圖象向右平移個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,
∴平移后解析式y=x2,
當(dāng)x=3時(shí),y=3,
∴M (3,3),
如圖3
若以AM為直角邊,點(diǎn)M是直角頂點(diǎn),在AM上方作等腰直角△AME,則∠EAM=45°,
直線AE交y軸于F點(diǎn),作MG⊥x軸,EH⊥MG,則△EHM≌△AMG,
∵A(﹣,0),M(3,3),
∴E(3﹣3,3+),
∴直線AE解析式:y=x+,
∴F(0,),
若以AM為直角邊,點(diǎn)M是直角頂點(diǎn),在AM上方作等腰直角△AME,
同理可得:F(0,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE
(1)求證:△ABC≌△CDE
(2)試判斷AC與CE的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)若將CD沿CB方向平移得到圖②的情形,其余條件不變,此時(shí)第(2)問中AC與CE的位置關(guān)系還成立嗎?請(qǐng)說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為半圓O的直徑,AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn),CD切⊙O于點(diǎn)E,AD與CD相交于D,BC與CD相交于C,連接OD、OC,對(duì)于下列結(jié)論:
①OD2=DECD;②AD+BC=CD;③OD=OC;④S梯形ABCD=CDOA;⑤∠DOC=90°,
其中正確的是_____.(只需填上正確結(jié)論的序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8,AD是BC邊上的中線,點(diǎn)E是AC邊上的一點(diǎn),AE=2,若點(diǎn)M是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則ME+MC的最小值為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為3cm等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng),點(diǎn)P速度為1cm/s,點(diǎn)Q的速度為2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí),P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),
⑴當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?
⑵△PBQ能否成為等邊三角形?若能,請(qǐng)求出t值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB,
(1)求∠AOC的度數(shù)
(2)連接BO,試說明BO平分∠ABC
(3)判斷AC、AE、CD的關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有A、B兩個(gè)港口,水由A流向B,水流的速度是4千米/小時(shí),甲、乙兩船同時(shí)由A順流駛向B,各自不停地在A、B之間往返航行,甲在靜水中的速度是28千米/小時(shí),乙在靜水中的速度是20千米/小時(shí).
設(shè)甲行駛的時(shí)間為t小時(shí),甲船距B港口的距離為S1千米,乙船距B港口的距離為S2千米,如圖為S1(千米)和t(小時(shí))函數(shù)關(guān)系的部分圖象.
(1)A、B兩港口距離是_____千米.
(2)在圖中畫出乙船從出發(fā)到第一次返回A港口這段時(shí)間內(nèi),S2(千米)和t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系的圖象.
(3)求甲、乙兩船第二次(不算開始時(shí)甲、乙在A處的那一次)相遇點(diǎn)M位于A、B港口的什么位置?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,輪船從B處以每小時(shí)60海里的速度沿南偏東20°方向勻速航行,在B處觀測(cè)燈塔A位于南偏東50°方向上,輪船航行20分鐘到達(dá)C處,在C處觀測(cè)燈塔A位于北偏東10°方向上,則C處與燈塔A的距離是___________海里.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在學(xué)校開展的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,小明和小剛制作了一個(gè)正三樓錐(質(zhì)量均勻,四個(gè)面完全相同),并在各個(gè)面上分別標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4,游戲規(guī)則如下每人投擲三棱錐兩次,并記錄底面的數(shù)字,如果兩次所擲數(shù)字的和為單數(shù),那么算小明贏,如果兩歡所擲數(shù)字的和為偶數(shù),那么算小明贏;
(1)請(qǐng)用列表或者面樹狀圍的方法表示上述游戲中的所有可能結(jié)果.
(2)請(qǐng)分別隸出小明和小剛能贏的概率,并判新游戲的公平性.
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