Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，8），若拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，且△ABC的面積為40．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在直線BC上，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到直線AC的距離為5？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先由△ABC的面積為40求出AB=10，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，得到A（-6，0），B（4，0），則可設(shè)拋物線交點(diǎn)式為y=a（x+6）（x-4），將點(diǎn)C（0，8）代入，求出a=-

1

3

，進(jìn)而得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-2x+8，由于點(diǎn)B到直線AC的距離為8＞5，所以點(diǎn)Q的位置有兩種可能的情況：①點(diǎn)Q在線段BC上；②點(diǎn)Q在線段BC的延長線上．利用面積法分別可求．

解答：解：（1）∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

AB×8=40，
∴AB=10．
∵對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴A（-6，0），B（4，0），
∴設(shè)y=a（x+6）（x-4），
∵拋物線過點(diǎn)C（0，8），
∴8=-24a，
解得a=-

1

3

，
∴y=-

1

3

（x+6）（x-4），即y=-

1

3

x²-

2

3

x+8；

（2）存在這樣的點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到直線AC的距離為5．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，
∵B（4，0），C（0，8），
∴

4k+m=0 m=8

，解得

k=-2 m=8

，
∴y=-2x+8．
設(shè)點(diǎn)Q（x，-2x+8），
∵A（-6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AB=AC=10，
又∵AB邊上的高OC=8，
∴AC邊上的高即點(diǎn)B到直線AC的距離為8＞5．
分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，如圖1．連接AQ，過點(diǎn)Q作QP⊥AC于P，QR⊥AB于R，則QP=5，QR=|-2x+8|=-2x+8．
∵S_△ACQ+S_△ABQ=S_△ABC，
∴

1

2

AC•QP+

1

2

AB•QR=

1

2

AB•OC，
∴

1

2

×10×5+

1

2

×10×QR=

1

2

×10×8，
解得QR=3，
∴-2x+8=3，x=

5

2

，
∴Q₁（

5

2

，3）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC的延長線上時(shí)，如圖2．連接AQ，過點(diǎn)Q作QP⊥AC于P，QR⊥AB于R，則QP=5，QR=|-2x+8|=-2x+8．
∵S_△ABQ-S_△ACQ=S_△ABC，
∴

1

2

AB•QR-

1

2

AC•QP=

1

2

AB•OC，
∴

1

2

×10×QR-

1

2

×10×5=

1

2

×10×8，
解得QR=13，
∴-2x+8=13，x=-

5

2

，
∴Q₂（-

5

2

，13）；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q₁（

5

2

，3），Q₂（-

5

2

，13）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)和三角形的面積求法．第（2）問利用等腰三角形兩腰上的高相等判斷出點(diǎn)Q的位置有兩種可能的情況，進(jìn)而根據(jù)△ABC的面積不變列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．