Question

【題目】綜合與實(shí)踐

（1）（探索發(fā)現(xiàn)）

在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝a，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到ED，連接BE，如圖（1），當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，且a＝90°時(shí)，試猜想：

①AF與BE之間的數(shù)量關(guān)系：　 　；

②∠ABE＝　 　．

（2）（拓展探究）

如圖（2），當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，且0°＜a＜90°時(shí)，判斷AF與BE之間的數(shù)量關(guān)系及∠ABE的度數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）（解決問(wèn)題）

如圖（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝4，∠ACB＝a，點(diǎn)D在射線BC上，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到ED，連接BE．當(dāng)BD＝3CD時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）AF＝BF，90°．（2）結(jié)論：AF＝BE，∠ABE＝α．（3）2或4．

【解析】

（1）設(shè)AB交DE于O，易證△ADF≌△EDB，得到AF＝BE，有因∠DAF＝∠E，∠AOD＝∠EOB，所以∠ABE＝∠ADO＝90°

（2）易證△ADF≌△EDB，得到AF＝BE，∠AFD＝∠EBD，又∠AFD=∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，所以∠ABE＝∠FDB＝α．

（3）D有可能在BC上，也有可能在BC延長(zhǎng)線上，畫(huà)出圖形，利用平行線得到相似，直接利用相似比進(jìn)行計(jì)算即可

解（1）如圖1中，設(shè)AB交DE于O．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝45°，

∵DF∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝90°，

∴∠DFB＝∠DBF＝45°，

∴DF＝DB，

∵∠ADE＝∠FDB＝90°，

∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，

∴△ADF≌△EDB，

∴AF＝BE，∴∠DAF＝∠E，

∵∠AOD＝∠EOB，

∴∠ABE＝∠ADO＝90°

故答案為AF＝BF，90°．

（2）結(jié)論：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：

∵DF∥AC

∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB，

∴∠ABC＝∠DFB，

∴DB＝DF，

∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，

∴∠ADF＝∠EDB，

又∵AD＝DE，

∴△ADF≌△EDB，

∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD

∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，

∴∠ABE＝∠FDB＝α．

（3）①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，

由（2）可知：BE＝AF，

∵DF∥AC，

∴

∵AB＝8，

∴AF＝2，

∴BE＝AF＝2，

②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵AC∥DF，

∴

∵AB＝8，

∴AF＝4，

故答案為2或4．