Question

在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，線段CD繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CP，連接PA、PB．
（1）求證：PB=AD；
（2）若∠APC=150°，①求證：PB²=PA²+PC²；②若PA、PC、PB分別等于三個(gè)相鄰的自然數(shù)，求AB²的值．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)AC，由AB=BC，∠ABC=60°可判斷△ABC為等邊三角形，則CA=CB，∠ACB=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CD，∠PCD=60°，易得∠PCB=∠DCA，
然后根據(jù)“SAS”判斷△PCB≌△DCA，于是得到PB=AD；
（2）①由CP=CD，∠PCD=60°，可判斷△CPD為等邊三角形，則∠DPC=60°，PD=PC，而∠APC=150°，所以∠APD=90°，由勾股定理得AD²=PA²+PD²，
由于PD=PC，AD=PB，所以PB²=PA²+PC²；
②設(shè)PA、PC、PB分別等于n，n+1，n+2，由①的結(jié)論得（n+2）²=n²+（n+1）²，解得n₁=3，n₂=-1（舍去），則PA=3，PC=4，PB=5，
作AE⊥CP于E，由∠APC=150°得到∠APE=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AE=

1

2

AP=

3

2

，PE=

3

AE=

3 3

2

，則CE=PC+PE=4+

3 3

2

，
然后在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理計(jì)算AC²．

解答：（1）證明：連結(jié)AC，如圖，
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
∵線段CD繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CP，
∴CP=CD，∠PCD=60°，
∴∠ACB=∠DCP，
∴∠ACB-∠ACP=∠DCP-∠ACP，
即∠PCB=∠DCA，
在△PCB和△DCA中

PC=DC ∠PCB=∠DCA CB=CA

，
∴△PCB≌△DCA，
∴PB=AD；
（2）①證明：∵CP=CD，∠PCD=60°，
∴△CPD為等邊三角形，
∴∠DPC=60°，PD=PC，
∵∠APC=150°，
∴∠APD=90°，
∴AD²=PA²+PD²，
而PD=PC，AD=PB，
∴PB²=PA²+PC²；
②解：設(shè)PA、PC、PB分別等于n，n+1，n+2，
∵PB²=PA²+PC²，
∴（n+2）²=n²+（n+1）²，
整理得n²-2n-3=0，解得n₁=3，n₂=-1（舍去），
∴PA=3，PC=4，PB=5，
作AE⊥CP于E，如圖，
∵∠APC=150°，
∴∠APE=30°，
∴AE=

1

2

AP=

3

2

，
PE=

3

AE=

3 3

2

，
∴CE=PC+PE=4+

3 3

2

，
在Rt△AEC中，
AC²=AE²+CE²=（

3

2

）²+（4+

3 3

2

）²=25+12

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．