Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=2x-2經(jīng)過等腰Rt△AOB的直角頂點A，交y軸于C點．
（1）求點A坐標(biāo)；
（2）若點P為x軸上一動點．點Q的坐標(biāo)是（a，

4

a

），△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形．求出a的值并寫出點Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若D是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，使點A、P、Q、D剛好能構(gòu)成平行四邊形，請直接寫出符合條件的點D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，a），因為點A在直線y=2x-2上，即把A點坐標(biāo)代入解析式即可算出a的值，進而得到A點坐標(biāo)．
（2）連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點．由ASA易證△AOP≌△AQB，得出∠AOP=∠ABQ=45，從而求得QB⊥OB，根據(jù)B點、Q點的縱坐標(biāo)相等得出結(jié)果．
（3）因為點D與A，P，Q三點構(gòu)成平行四邊形，所以需分情況討論：因為A（2，2），P（-1，0），Q（4，1），利用平行四邊形的對邊分別平行且相等，
若QD∥PA，則符合條件的點D的坐標(biāo)分別是D₁（5，3），D₂（3，-2）；若PD∥QA，則符合條件的點D的坐標(biāo)分別是D₂（3，-2），D₃（-1，1）．

解答：解：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，a），
∵點A在直線y=2x-2上，
∴a=2a-2，
解得a=2，
∴A（2，2）

（2）連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點，
則△APQ為等腰直角三角形．
∵∠OAB=∠PAQ=90°
∴∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△APO與△AQB中

OA=AB ∠OAP=∠BAQ AP=AQ

∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠AOP=∠ABO=45°
∴QB⊥OB
∵A（2，2）
∴B（4，0）
∵Q點的坐標(biāo)是（a，

4

a

），
∴a=4，
∴Q（4，1），


（3）在（2）的條件下，若D是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，使點A、P、Q、D剛好能構(gòu)成平行四邊形，則D點的坐標(biāo)為（-1，1），（5，3），（3，-1）．

點評：本題考查了一次函數(shù)解析式的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．