Question

如圖，拋物線y=x2+mx+（m﹣1）與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，與y軸交于點C（0，c），且滿足x12+x22+x1x2=7．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上能不能找到一點P，使∠POC=∠PCO？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

 

 

Answer 1

(1)拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3；

(2)能, 點P的坐標是（，﹣），（，﹣）

【解析】

試題分析：

（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，等式x12+x22+x1x2=7．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1．代入等式，即可求得m的值，從而求得解析式．

（2）根據(jù)線段的垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，求得P點的縱坐標，代入拋物線的解析式即可求得．

試題解析：

解（1）依題意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，

∵x1+x2+x1x2=7，

∴（x1+x2)2﹣x1x2=7，

∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7，

即m2﹣m﹣6=0，

解得m1=﹣2，m2=3，

∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合題意

∴m=﹣2

拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3；

（2）能

如圖，設(shè)p是拋物線上的一點，連接PO，PC，過點P作y軸的垂線，垂足為D．

若∠POC=∠PCO

則PD應(yīng)是線段OC的垂直平分線

∵C的坐標為（0，﹣3）

∴D的坐標為（0，﹣）

∴P的縱坐標應(yīng)是﹣

令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=

因此所求點P的坐標是（，﹣），（，﹣）

考點：二次函數(shù)綜合題．