Question

如圖，直線y=-x+b（b＞0）與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，AM⊥y軸于M，AN⊥x軸于N，有以下結(jié)論：
①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，則S_△AOB=k．
其中正確的是

 

（填序號(hào)即可）．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：①②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立y=-x+b與y=

k

x

，得x²-bx+k=0，則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比較可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可證結(jié)論；
③作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S_△AOB=k；

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=

k

x

中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
聯(lián)立

y=-x+b y= k b

，消去y得：x²-bx+k=0，
則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
在△AOM和△BON中，

AM=BN ∠AMO=∠BNO OM=ON

∴△AOM≌△BON，
∴OA=OB，即①②正確；
③作OH⊥AB，垂足為H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵△AOM≌△BON，
∴∠MOA=∠BON=22.5°，∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=

1

2

k+

1

2

k=k，正確；
正確的結(jié)論有①②③．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性．