如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線交y軸于點C，對稱軸與x軸交于點D，頂點為M，設點P（x，y）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個動點，直線PE繞點P旋轉(zhuǎn)，與y軸交于點E，是否存在以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由。


解：∵拋物線交y軸于點C，

∴C（0，4）。

∵，

∴頂點M坐標為（2，6）。

若以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等，可能有以下情形：

①OD=OP。

由圖象可知，OP最小值為4，即OP≠OD，故此種情形不存在。

②OD=OE。

若點P位于第一象限內(nèi)拋物線對稱軸的左側(cè)，易知△OPE為鈍角三角形，而△OPD為銳角三角形，則不可能全等。

若點P與點M重合，如圖2所示，此時△OPD≌OPE，四邊形PDOE為矩形。

∴OE=DM=6，即點E的坐標為（0，6）。

綜上所述，存在以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等，點E的坐標為（0，2）或（0，6）。

【考點】曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定，分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應用。


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：


如圖，直線l：與軸交于點A，將直線l繞點A順時針旋轉(zhuǎn)75º后，所得直線的解析式為【    】

A．       B．        C．      D．

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如圖，在坐標系xOy中，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，A（1，0），B（0，），拋物線的圖象過C點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為1：2的兩部分？

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如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、B和點C．連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S．

（1）請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（2）設S0是②中函數(shù)S的最大值，求出S0的值．

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如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點P與點C不重合)，連結(jié)BP. 將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,連結(jié)AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點E、F.

      （1） 如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在       關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說明理由；

（2）如圖2，設∠ABP=β . 當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，當α=60°時，點E、F與點B重合. 已知AB=4，設DP=x，△A1BB1的面

積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

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如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

（1）求梯形ABCD的面積；

（2）動點P從點B出發(fā)，以2個單位/s的速度沿B→A→D→C方向向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以2個單位/s的速度沿C→D→A方向向點A運動；過點Q作QE⊥BC于點E．若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．問：

①當點P在B→A上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值，并判斷此時PQ是否平分梯形ABCD的面積；若不存在，請說明理由．

②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

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如圖，在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于M點。探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出△AEM的面積；若不能，請說明理由。

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 如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，點D為邊BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作正方形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），連接CF。求證： CF+CD=AC。

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 閱讀下面的材料：

小明在數(shù)學課外小組活動中遇到這樣一個“新定義”問題：

 

小明是這樣解決問題的：由新定義可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）=．

請你參考小明的解題思路，回答下列問題：

（1）計算：2※3=        ；

（2）若5※m=，則m=        ．

（3）函數(shù)y=2※x（x≠0）的圖象大致是（  ）

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