【題目】如圖,AB⊙O的直徑,AC為弦,∠BAC的平分線交⊙O于點D,過點D的切線交AC的延長線于點E.

求證:(1)DE⊥AE;

(2)AE+CE=AB.

【答案】證明見解析

【解析】

(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得出∠CAD=ODA,利用內(nèi)錯角相等,兩直線平行可得出AEOD,結(jié)合切線的性質(zhì)即可證出DEAE;

(2)過點DDMAB于點M,連接CD、DB,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出DE=DM,結(jié)合AD=AD、AED=AMD=90°即可證出DAE≌△DAM(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AE=AM,由∠EAD=MAD可得出,進(jìn)而可得出CD=BD,結(jié)合DE=DM可證出RtDECRtDMB(HL),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出CE=BM,結(jié)合AB=AM+BM即可證出AE+CE=AB.

(1)連接OD,如圖1所示.

OA=OD,AD平分∠BAC,

∴∠OAD=ODA,CAD=OAD,

∴∠CAD=ODA,

AEOD.

DE是⊙O的切線,

∴∠ODE=90°,

ODDE,

DEAE.

(2)過點DDMAB于點M,連接CD、DB,如圖2所示.

AD平分∠BAC,DEAE,DMAB,

DE=DM.

DAEDAM中,,

∴△DAE≌△DAM(SAS),

AE=AM.

∵∠EAD=MAD,

,

CD=BD.

RtDECRtDMB中,,

RtDECRtDMB(HL),

CE=BM,

AE+CE=AM+BM=AB.

練習(xí)冊系列答案
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