Question

已知直線y₁=2x-1分別交x軸、y軸于B、C，拋物線y₂=mx²過直線y₁=2x-1上點A（1，n）．
（1）求m的值；
（2）求證：拋物線y₂=mx²上除點A外的所有點均在直線y₁=2x-1的上方；
（3）過點C作直線交拋物線y₂=mx²于點M、N，若CM=MN，求點M的坐標；
（4）過點A 的另一條拋物線y₃=ax²+bx+c滿足y₁≤y₃≤y₂，且過點（-5，1），求拋物線y₃=ax²+bx+c的函數(shù)表達式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將x=1代入y₁=2x-1 ①，求出y₁=1，得到A（1，1），再將A（1，1）代入y₂=mx²，即可求出m的值；
（2）由y₂=x² ②，得出y₂-y₁=x²-（2x-1）=（x-1）²≥0，當且僅當x=1時，y₂-y₁=0成立，即可證明拋物線y₂=mx²上除點A外的所有點均在直線y₁=2x-1的上方；
（3）先求出y₁=2x-1與y軸交點C的坐標為（0，-1），再根據(jù)M、N在拋物線y₂=x²上，可設(shè)M（m，m²），N（x，y），由M是CN中點，根據(jù)中點坐標公式得出

m= 0+x 2 m2= -1+y 2

，則

x=2m y=2m2+1

，于是（2m）²=2m²+1，解方程求出m的值，進而求出點M的坐標；
（4）先由拋物線y₃經(jīng)過A（1，1）、（-5，1），根據(jù)對稱性得出y₃的對稱軸是x=-2，則y₃=a（x+2）²-4a+c=ax²+4ax+c ③，再由y₁≤y₃≤y₂，得出a＞0，并且y₁、y₂、y₃只有一個解得A，于是聯(lián)立①③并整理得：ax²+（4a-2）x+c+1=0，得出△=（4a-2）²-4a（c+1）=0 ④，聯(lián)立②③并整理得：（a-1）x²+4ax+c=0 ⑤，聯(lián)立④⑤得：c=1-5a，于是y₃=ax²+4ax-5a+1．而當y₁=y₂時，x=1，所以方程2x+1=ax²+4ax-5a+1有唯一解x=1，即x=

-(4a-2)

2a

=1，解方程求出a=

1

3

，進而得到y(tǒng)₃=

1

3

x²+

4

3

x-

2

3

．

解答：（1）解：將x=1代入y₁=2x-1 ①，
解得：y₁=1，則A（1，1）．
將A（1，1）代入y₂=mx²，得m=1；

（2）證明：∵y₁=2x-1，y₂=x² ②，
∴y₂-y₁=x²-（2x-1）=（x-1）²≥0，
當且僅當x=1時，y₂-y₁=0成立，
∴拋物線y₂=mx²上除點A外的所有點均在直線y₁=2x-1的上方；

（3）解：∵y₁=2x-1，
∴當x=0時，y=-1；當y=0時，x=

1

2

，
∴B（

1

2

，0），C（0，-1）．
∵M、N在拋物線y₂=x²上，
∴設(shè)M（m，m²），N（x，y），
∵CM=MN，
∴M是CN中點，
∴

m= 0+x 2 m2= -1+y 2

，∴

x=2m y=2m2+1

，
∴（2m）²=2m²+1，
解得：m=±

2

2

，
∴m²=（±

2

2

）²=

1

2

，
∴M₁（

2

2

，

1

2

），M₂（-

2

2

，

1

2

）；

（4）解：∵拋物線y₃經(jīng)過A（1，1）、（-5，1），
∴y₃的對稱軸是x=-2，
∴y₃=a（x+2）²-4a+c=ax²+4ax+c ③．
∵y₁≤y₃≤y₂，
∴a＞0，y₁、y₂、y₃只有一個解得A，
∴聯(lián)立①③并整理得：ax²+（4a-2）x+c+1=0，
∴△=（4a-2）²-4a（c+1）=0 ④，
聯(lián)立②③并整理得：（a-1）x²+4ax+c=0 ⑤，
聯(lián)立④⑤得：c=1-5a，
∴y₃=ax²+4ax-5a+1．
∵當y₁=y₂時，x=1，
∴方程2x+1=ax²+4ax-5a+1有唯一解x=1，
即x=

-(4a-2)

2a

=1，解得a=

1

3

，
∴y₃=

1

3

x²+

4

3

x-

2

3

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，線段中點坐標公式，兩函數(shù)有唯一交點時滿足的條件等知識，綜合性較強，有一定難度．