Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，邊AC在直線l上，點F是直線l上的一個動點，過點B的⊙O與直線l相切于點F．設CF=x，⊙O的半徑為y．
（1）用x的代數(shù)式表示y；
（2）點F在運動的過程中，是否存在這樣的x，使⊙O與△ABC的兩邊所在直線同時相切？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：：（1）連接OB，OF，作OD⊥BC于D，如圖1，在△ACB，利用勾股定理計算出AB=5，根據(jù)切線的性質(zhì)由過點B的⊙O與直線l相切于點F得到OF⊥l，則可判斷四邊形OFCD為矩形，所以OD=CF=x，DC=OF=y，則BD=BC-DC=3-y，在Rt△OBD中，利用勾股定理得（3-y）²+x²=y²，變形得到y(tǒng)=

1

6

x²+

3

2

；
（2）分類討論：當⊙O與直線AB相切于B點，如圖2，連接OB，OF，作OD⊥BC于D，根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥AB，再利用等角的余角相等得∠ABC=∠DOB，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到Rt△ACB∽Rt△BDO，利用相似比得y=

5

3

x，由于y=

1

6

x²+

3

2

，則

1

6

x²+

3

2

=

5

3

x，整理得x²-10x+9=0，解方程得到x₁=1，x₂=9；
當⊙O與直線BC相切于B點，如圖3，連接OB、OF，根據(jù)切線長定理易得x=3．

解答：解：（1）連接OB，OF，作OD⊥BC于D，如圖1，
在△ABC中，
∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵過點B的⊙O與直線l相切于點F，
∴OF⊥l，
∴四邊形OFCD為矩形，
∴OD=CF=x，DC=OF=y，
∴BD=BC-DC=3-y，
在Rt△OBD中，OB=y，
∵BD²+OD²=OB²，
∴（3-y）²+x²=y²，
∴y=

1

6

x²+

3

2

；
（2）存在．
當⊙O與直線AB相切于B點，如圖2，
連接OB，OF，作OD⊥BC于D，
∵AB與⊙O相切于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，即∠ABC+∠DBO=90°，
而∠DBO+∠DOB=90°，
∴∠ABC=∠DOB，
∴Rt△ACB∽Rt△BDO，
∴

AB

OB

=

BC

OD

，即

5

y

=

3

x

，
∴y=

5

3

x，
∵y=

1

6

x²+

3

2

，
∴

1

6

x²+

3

2

=

5

3

x，
整理得x²-10x+9=0，解得x₁=1，x₂=9，
當⊙O與直線BC相切于B點，如圖3，連接OB、OF，
∵BC與⊙O相切于B點，
而⊙O與直線l相切于點F，
∴CB=CF，
∴x=3，
綜上所述，滿足條件的x的值為1，3，9．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)定理、切線長定理；會運用勾股定理和三角形的相似比進行幾何計算．