【題目】有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形,這兩邊中較長(zhǎng)邊稱為智慧邊,這兩邊的 夾角叫做智慧角.
(1)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,若∠A 為智慧角,則∠B 的度數(shù)為 ;
(2)如圖①,在△ABC 中,∠A=45°,∠B=30°,求證:△ABC 是智慧三角形;
(3)如圖②,△ABC 是智慧三角形,BC 為智慧邊,∠B 為智慧角,A(3,0),點(diǎn) B,C 在函數(shù) y= (x>0)的圖像上,點(diǎn) C 在點(diǎn) B 的上方,且點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為.當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí),求 k 的值.
【答案】(1)45°.(2)見(jiàn)解析;(3)k=4或18+15.
【解析】試題分析:(1)由智慧角的定義得到AB=AC,解直角三角形即可得到結(jié)論.
(2)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△ACD中,由∠A=45°,得到AC=DC.
在Rt△BCD中,由∠B=30°,得到BC=2DC,即可得到結(jié)論.
(3)分兩種情況討論:①∠ABC=90°;②∠BAC=90°.
試題解析:解:(1)∵∠ACB=90°,若∠A 為智慧角,∴AB=AC,∴cosA=,∴∠A=45°,∴∠B=45°.
(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.
在Rt△ACD中,∠A=45°,∴AC=DC.
在Rt△BCD中,∠B=30°,∴BC=2DC,∴=,∴△ABC是智慧三角形.
(3)由題意可知:∠ABC=90°或∠BAC=90°.
①當(dāng)∠ABC=90°時(shí),如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥EB交EB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G,則∠AEB=∠F=∠ABC=90°,∴∠BCF+∠CBF=∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BCF=∠ABE,∴△BCF∽△ABE,∴===.
設(shè)AE=a,則BF=a.∵BE=,∴CF=2.
∵OG=OA+AE-GE=3+a-2=1+a,CG=EF=+a,∴B(3+a, ),C(1+a, +a).∵點(diǎn)B,C在函數(shù)y=(x>0)的圖像上,∴ (3+a)=(1+a)( +a)=k.
解得:a1=1,a2=-2(舍去),∴k=.
②當(dāng)∠BAC=90°時(shí),如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N,則∠CMA=∠CAB=∠ANB=90°,∴∠MCA+∠CAM=∠BAN+∠CAM=90°,∴∠MCA=∠BAN.由(1)知∠B=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AC=AB.
由①知△MAC∽△NBA,∴△MAC≌△NBA(AAS),∴AM=BN=.
設(shè)CM=AN=b,則ON=3+b,∴B(3+b, ),C(3-,b).
∵點(diǎn)B,C在函數(shù)y=(x>0)的圖像上,∴ (3+b)=(3-)b=k,
解得:b=9+12,∴k=18+15.
綜上所述:k=4或18+15.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上有A,B,C三個(gè)點(diǎn),分別表示有理數(shù)﹣24,﹣10,10,動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)用含t的代數(shù)式表示P到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離:
PA=________,PC=________;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā),以每秒3個(gè)單位的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后,再立即以同樣的速度返回,運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A.在點(diǎn)Q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后,P,Q兩點(diǎn)之間的距離能否為2個(gè)單位?如果能,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù);如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下面一段文字:?jiǎn)栴}:能化為分?jǐn)?shù)形式嗎?
探求:步驟①設(shè),步驟②,
步驟③,則,
步驟④,解得.
根據(jù)你對(duì)這段文字的理解,回答下列問(wèn)題:
(1)步驟①到步驟②的依據(jù)是____________;
(2)仿照上述探求過(guò)程,請(qǐng)你嘗試把化為分?jǐn)?shù)形式;
步驟①設(shè),步驟②,
步驟③__________________,
步驟④____________,解得____________;
(3)請(qǐng)你將化為分?jǐn)?shù)形式,并說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下面一段文字:
問(wèn)題:0.能用分?jǐn)?shù)表示嗎?
探求:步驟①設(shè)x=0.,
步驟②10x=10×0.,
步驟③10x=8.,
步驟④10x=8+0.,
步驟⑤10x=8+x,
步驟⑥9x=8,
步驟⑦x=.
根據(jù)你對(duì)這段文字的理解,回答下列問(wèn)題:
(1)步驟①到步驟②的依據(jù)是______;
(2)仿照上述探求過(guò)程,請(qǐng)你嘗試把0.表示成分?jǐn)?shù)的形式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批 30 瓦的 LED 燈泡和普通白熾燈泡進(jìn)行銷售,其進(jìn)價(jià)與標(biāo)價(jià)如下表:
LED 燈泡 | 普通白熾燈泡 | |
進(jìn)價(jià)(元) | 45 | 25 |
標(biāo)價(jià)(元) | 60 | 30 |
(1)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了 LED 燈泡與普通白熾燈泡共 300 個(gè),LED 燈泡按標(biāo)價(jià)進(jìn)行銷售,而普通 白熾燈泡打九折銷售,當(dāng)銷售完這批燈泡后可獲利 3 200 元,求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn) LED 燈泡與 普通白熾燈泡的數(shù)量分別為多少個(gè)?
(2)由于春節(jié)期間熱銷,很快將兩種燈泡銷售完,若該商場(chǎng)計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)這兩種燈泡 120 個(gè), 在不打折的情況下,請(qǐng)問(wèn)如何進(jìn)貨,銷售完這批燈泡時(shí)獲利最多且不超過(guò)進(jìn)貨價(jià)的 30%, 并求出此時(shí)這批燈泡的總利潤(rùn)為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某天上午出租車司機(jī)小張?jiān)跂|西走向的大街上營(yíng)運(yùn),如果規(guī)定向東為正,向西為負(fù),他這天上午所接送六位乘客的行駛里程(單位:km)如下表:(等待乘客時(shí),空車?yán)锍毯雎圆挥?jì))
乘客順序 | 第一位 | 第二位 | 第三位 | 第四位 | 第五位 | 第六位 |
行駛里程 | -2 | +8 | -1 | +1 | -9 | -2 |
(1)將最后一位乘客送到目的地時(shí),小張?jiān)诔霭l(fā)地什么位置?
(2)若汽車耗油量為0.06,這天上午小張接送乘客,出租車共耗油多少升?
(3)若出租車起步價(jià)為5元,起步里程為3km(包括3km),超過(guò)部分1.2元/km,問(wèn)小張這天上午共收車費(fèi)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,,是邊上一點(diǎn),將沿翻折,點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)處,則的長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)習(xí)概率知識(shí)后,小慶和小麗設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲,在一個(gè)不透明的布袋A里面裝有三個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字3,4,5的小球(小球除數(shù)字不同外,其余都相同);同時(shí)制作了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)B,轉(zhuǎn)盤(pán)B被平均分成2部分,在每一部分內(nèi)分別標(biāo)上數(shù)字1,2.現(xiàn)在其中一人從布袋A中隨機(jī)摸取一個(gè)小球,記下數(shù)字為x;另一人轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)B,轉(zhuǎn)盤(pán)停止后,指針指向的數(shù)字記為y(若指針指在邊界線上時(shí)視為無(wú)效,重新轉(zhuǎn)動(dòng)),從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y).
(1)請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法寫(xiě)出所有可能得到的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若S=xy,當(dāng)S為奇數(shù)時(shí)小慶獲勝,否則小麗獲勝,你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?對(duì)誰(shuí)更有利呢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+x+與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),連接CD,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求線段DE的長(zhǎng)度;
(2)如圖2,試在線段AE上找一點(diǎn)F,在線段DE上找一點(diǎn)P,且點(diǎn)M為直線PF上方拋物線上的一點(diǎn),求當(dāng)△CPF的周長(zhǎng)最小時(shí),△MPF面積的最大值是多少;
(3)在(2)問(wèn)的條件下,將得到的△CFP沿直線AE平移得到△C′F′P′,將△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″,記在平移過(guò)稱中,直線F′P′與x軸交于點(diǎn)K,則是否存在這樣的點(diǎn)K,使得△F′F″K為等腰三角形?若存在求出OK的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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