【題目】已知四邊形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的兩邊分別與射線CB,DC相交于點E,F(xiàn),且∠EAF=60°.
(1)如圖1,當點E是線段CB的中點時,直接寫出線段AE,EF,AF之間的數(shù)量關系;
(2)如圖2,當點E是線段CB上任意一點時(點E不與B、C重合),求證:BE=CF;
(3)如圖3,當點E在線段CB的延長線上,且∠EAB=15°時,求點F到BC的距離.
【答案】
(1)
解:結論AE=EF=AF.理由:如圖1中
,連接AC,
∵四邊形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等邊三角形,
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC,
∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,
∵∠EAF=60°,
∴∠CAF=∠DAF=30°,
∴AF⊥CD,
∴AE=AF(菱形的高相等),
∴△AEF是等邊三角形,
∴AE=EF=AF.
(2)
解:證明:如圖2中
,∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAE,
在△BAE和△CAF中,
,
∴△BAE≌△CAF,
∴BE=CF.
(3)
解:
過點A作AG⊥BC于點G,過點F作FH⊥EC于點H,
∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,
∴∠AEB=45°,
在RT△AGB中,∵∠ABC=60°AB=4,
∴BG=2,AG=2 ,
在RT△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴AG=GE=2 ,
∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2,
∵△AEB≌△AFC,
∴AE=AF,EB=CF=2 ﹣2,∠AEB=∠AFC=45°,
∵∠EAF=60°,AE=AF,
∴△AEF是等邊三角形,
∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°,∠AEF=60°,
∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°,
在RT△EFH中,∠CEF=15°,
∴∠EFH=75°,
∵∠AFE=60°,
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°,
∵∠AFC=45°,∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°,
在RT△CHF中,∵∠CFH=30°,CF=2 ﹣2,
∴FH=CFcos30°=(2 ﹣2) =3﹣ .
∴點F到BC的距離為3﹣ .
【解析】(1)結論AE=EF=AF.只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形.
。2)欲證明BE=CF,只要證明△BAE≌△CAF即可.(3)過點A作AG⊥BC于點G,過點F作FH⊥EC于點H,根據(jù)FH=CFcos30°,因為CF=BE,只要求出BE即可解決問題. 本題考查四邊形綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題,學會添加常用輔助線,屬于中考壓軸題.
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質(zhì),掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半即可以解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在一張長方形ABCD紙張中,一邊BC折疊后落在對角線BD上,點E為折痕與邊CD的交點,若AB=5,BC=12,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】嘉興市2010~2014年社會消費品零售總額及增速統(tǒng)計圖如下:
請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)求嘉興市2010~2014年社會消費品零售總額增速這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(2)求嘉興市近三年(2012~2014年)的社會消費品零售總額這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).
(3)用適當?shù)姆椒A測嘉興市2015年社會消費品零售總額(只要求列出算式,不必計算出結果).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在學習了圖形的旋轉(zhuǎn)知識后,數(shù)學興趣小組的同學們又進一步對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關系進行了探究.
(一)嘗試探究
如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠ABC=∠ADC=90°,點E、F分別在線段BC、CD上,∠EAF=30°,連接EF.
(1)如圖2,將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′(A′B′與AD重合),請直接寫出∠E′AF=度,線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系為 .
(2)如圖3,當點E、F分別在線段BC、CD的延長線上時,其他條件不變,請?zhí)骄烤段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地新建的一個企業(yè),每月將生產(chǎn)1960噸污水,為保護環(huán)境,該企業(yè)計劃購置污水處理器,并在如下兩個型號種選擇:
污水處理器型號 | A型 | B型 |
處理污水能力(噸/月) | 240 | 180 |
已知商家售出的2臺A型、3臺B型污水處理器的總價為44萬元,售出的1臺A型、4臺B型污水處理器的總價為42萬元.
(1)求每臺A型、B型污水處理器的價格;
(2)為確保將每月產(chǎn)生的污水全部處理完,該企業(yè)決定購買上述的污水處理器,那么他們至少要支付多少錢?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC的周長是16,OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D且OD=2,△ABC的面積是________________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,O為原點,點A(4,0),點B(0,3),把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),得△A′BO′,點A,O旋轉(zhuǎn)后的對應點為A′,O′,記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)如圖①,若α=90°,求AA′的長;
(2)如圖②,若α=120°,求點O′的坐標;
(3)在(Ⅱ)的條件下,邊OA上 的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應點為P′,當O′P+BP′取得最小值時,求點P′的坐標(直接寫出結果即可)
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【題目】(1)發(fā)現(xiàn):
如圖1,點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b.
填空:當點A位于 時,線段AC的長取得最大值,且最大值為 (用含a,b的式子表示)
(2)應用:
點A為線段BC外一動點,且BC=3,AB=1,如圖2所示,分別以AB,AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.
①請找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;
②直接寫出線段BE長的最大值.
(3)拓展:
如圖3,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC和△CEF是兩個不等的等邊三角形,且有一個公共頂點C,連接AF和BE,線段AF和BE有怎樣的大小關系?證明你的猜想.
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