Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′，連結(jié)D′E，DE′=DE．
（1）求證：∠BAC=2∠DAE；
（2）若∠BAC=120°，BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，△CDE′是直角三角形？請說明理由．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AD′，∠BAD=∠CAD′，則∠BAC=∠DAD′，再證明△AED≌△AED′得到∠DAE=∠D′AE，則∠DAD′=2∠DAE，所以∠BAC=2∠DAE；
（2）由∠BAC=120°，AB=AC得∠B=∠ACB=30°，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BD=CD′，∠B=∠ACD′=30°，則∠ECD′=∠ECA+∠ACD′=60°，討論：當(dāng)∠CED′=90°時，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD′=2CE，D′E=

3

CE，即BD=2CE，DE=

3

CE，于是得到BD：DE：CE=2：

3

：1；同理可得當(dāng)∠ED′C=90°時，BD：DE：CE=1：

3

：2．

解答：（1）證明：∵△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠BAD=∠CAD′，
∴∠BAC=∠DAD′，
在△AED和△AED′中，

AE=AE AD=AD′ DE=D′E

，
∴△AED≌△AED′（SSS），
∴∠DAE=∠D′AE，
∴∠DAD′=2∠DAE，
∴∠BAC=2∠DAE；
（2）解：∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=30°，
∵△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′，
∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=30°，
∴∠ECD′=∠ECA+∠ACD′=60°，
當(dāng)∠CED′=90°時，則CD′=2CE，D′E=

3

CE，
∴BD=2CE，DE=

3

CE，
∴BD：DE：CE=2：

3

：1；
當(dāng)∠ED′C=90°時，則CE=2CD′，D′E=

3

CD′，
∴CE=

3

BD，DE=

3

BD，
∴BD：DE：CE=1：

3

：2，
即BD：DE：CE=2：

3

：1或BD：DE：CE=1：

3

：2時，△CDE′是直角三角形．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定．