【題目】如圖,直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn).
求拋物線的解析式;
如圖,點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)和面積的最大值?
在的結(jié)論下,過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn),連接,點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn),使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí),即點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí),的面積最大,最大面積是;(3)點(diǎn)的坐標(biāo)是、、.
【解析】
(1)首先根據(jù)直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,0);然后根據(jù)拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),求出a\c的值是多少,即可求出拋物線的解析式.
(2)首先過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M,EF交x軸于點(diǎn)F,然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(x,﹣x2+x+3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,﹣x+3),求出EM的值是多少;最后根據(jù)三角形的面積的求法,求出S△ABC,進(jìn)而判斷出當(dāng)△BEC面積最大時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值各是多少即可.
(3)在拋物線上存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.然后分三種情況討論,根據(jù)平行四邊形的特征,求出使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可.
(1)∵直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,0).
∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),∴,解得:,∴y=﹣x2+x+3.
(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M,EF交x軸于點(diǎn)F.
∵點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(x,﹣x2+x+3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,﹣x+3),∴EM=﹣x2+x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+x,∴S△BEC=S△BEM+S△MEC
==×(﹣x2+x)×4=﹣x2+3x=﹣(x﹣2)2+3
∴當(dāng)x=2時(shí),即點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3)時(shí),△BEC的面積最大,最大面積是3.
(3)在拋物線上存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
①如圖2,由(2),可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2.
∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,).
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣2,0),∴AM==,∴AM所在的直線的斜率是:;
∵y=﹣x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1,∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,m),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,﹣x2+x+3),則
解得:或.
∵x<0,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣3,﹣).
②如圖3,由(2),可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2.
∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,).
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣2,0),∴AM==,∴AM所在的直線的斜率是:;
∵y=﹣x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1,∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,m),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,﹣x2+x+3),則
解得:或.
∵x>0,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5,﹣).
③如圖4,由(2),可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2.
∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,).
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣2,0),∴AM==.
∵y=﹣x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1,∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,m),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,﹣x2+x+3),則,解得:,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣1,).
綜上,可得在拋物線上存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣3,﹣)、(5,﹣)、(﹣1,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,山頂建有一座鐵塔,塔高BC=80米,測(cè)量人員在一個(gè)小山坡的P處測(cè)得塔的底部B點(diǎn)的仰角為45°,塔頂C點(diǎn)的仰角為60°.已測(cè)得小山坡的坡角為30°,坡長(zhǎng)MP=40米.求山的高度AB(精確到1米).(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠A=∠B=90°,E是AB上的一點(diǎn),且AE=BC,∠1=∠2.
求證:△CED是等腰直角三角形
證明:∵∠1=∠2( )
∴EC= (在一個(gè)三角形中,等角對(duì)等邊)
∵∠A=∠B=90°,AE=BC
∴△AED≌△BCE( )
∴∠AED=∠ ( )
∵∠BCE+∠BEC=90°
∠ +∠BEC=90°(等量代換)
∴∠DEC=90°.
∴△CED是等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們知道:x2﹣6x=(x2﹣6x+9)﹣9=(x﹣3)2﹣9;﹣x2+10=﹣(x2﹣10x+25)+25=﹣(x﹣5)2+25,這一種方法稱為配方法,利用配方法請(qǐng)解以下各題:
(1)按上面材料提示的方法填空:a2﹣4a= = .﹣a2+12a= = .
(2)探究:當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時(shí)在得到的代數(shù)式a2﹣4a的值中是否存在最小值?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)應(yīng)用:如圖.已知線段AB=6,M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)AM=x,以AM為一邊作正方形AMND,再以MB、MN為一組鄰邊作長(zhǎng)方形MBCN.問(wèn):當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),長(zhǎng)方形MBCN的面積是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最大值;否則請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍時(shí),則稱此三角形為“倍角三角形”,其中角稱為“倍角”.若“倍角三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為36°,則這個(gè)“倍角三角形”的“倍角”的度數(shù)可以是________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在邊BC上,點(diǎn)E在邊AC上,且AD=AE.
(1)如圖1,當(dāng)AD是邊BC上的高,且∠BAD=30°時(shí),求∠EDC的度數(shù);
(2)如圖2,當(dāng)AD不是邊BC上的高時(shí),請(qǐng)判斷∠BAD與∠EDC之間的關(guān)系,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,己知直線過(guò)與交于點(diǎn)、點(diǎn),與交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),且,則________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程
解:設(shè)x2﹣4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4。ǖ谝徊剑
=y2+8y+16。ǖ诙剑
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的 (填序號(hào)).
A.提取公因式 B.平方差公式
C.兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式
(2)該同學(xué)在第四步將y用所設(shè)中的x的代數(shù)式代換,得到因式分解的最后結(jié)果.這個(gè)結(jié)果是否分解到最后? .(填“是”或“否”)如果否,直接寫出最后的結(jié)果 .
(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1進(jìn)行因式分解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,B. C.E在同一條直線上,連結(jié)DC.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中找出與△ABE全等的三角形,并給予證明;
(2)證明:DC⊥BE.
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