Question

已知拋物線y＝ax²－2ax－3a(a<0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，若DH＝HC，求a的值和直線CD的解析式；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使四邊形ABDC的面積為18，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)令y＝0，得 ax²－2ax－3a＝0.

∵a≠0，∴x²－2x－3＝0.

解得x₁＝－1，x₂＝3.

∵ 點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)(－1 , 0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)(3 , 0)．

(2)由y＝ax²－2ax－3a，令x＝0，得y＝－3a，

∴C(0 ，－3a)．

又∵y＝ax²－2ax－3a＝a(x－1)²－4a，

∴D(1 ，－4a)．∴H(0，－4a)

∴DH＝HC＝－4a－(－3a)＝－a＝1.

∴a＝－1.∴C(0 , 3)，D(1 , 4)．

設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b，把點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別代入，得

解得

∴直線CD的解析式為y＝x＋3.

(3)存在實(shí)數(shù)a，四邊形ABDC的面積為18.理由：

S_{四邊形ABDC}＝×(－3a)×1＋1×(－4a－3a)×＋×(－4a)×2＝18，

解得a＝－2.