Question

【題目】如圖，過線段AB的端點B作射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP為邊作正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點E，使∠EAP＝∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F（點F與點A、B不重合）．

（1）求證：≌；

（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）試探究AE+EF+AF與2AB是否相等，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CF⊥AB，見解析；（3）AE+EF+AF＝2AB，見解析

【解析】

（1）四邊形APCD正方形，則DP平分∠APC，PC＝PA，∠APD＝∠CPD＝45°，即可求解；

（2）△AEP≌△CEP，則∠EAP＝∠ECP，而∠EAP＝∠BAP，則∠BAP＝∠FCP，令CF與線段AP交于點M，則∠FCP+∠CMP＝90°，則∠AMF+∠PAB＝90°即可求解；

（3）證明△PCN≌△APB（AAS），則CN＝PB＝BF，PN＝AB，即可求解．

解：（1）證明：∵四邊形APCD正方形，

∴DP平分∠APC，PC＝PA，

∴∠APD＝∠CPD＝45°，

∵PE＝PE，

∴△AEP≌△CEP（SAS）；

（2）CF⊥AB，理由如下：

∵△AEP≌△CEP，

∴∠EAP＝∠ECP，

∵∠EAP＝∠BAP，

∴∠BAP＝∠FCP，

令CF與線段AP交于點M，

∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，

∴∠AMF+∠PAB＝90°，

∴∠AFM＝90°，

∴CF⊥AB；

（3）過點C作CN⊥PB．

∵CF⊥AB，BG⊥AB，

∴FC∥BN，

∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，

又AP＝CP，

∴△PCN≌△APB（AAS），

∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，

∵△AEP≌△CEP，

∴AE＝CE，

∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF

＝BN+AF

＝PN+PB+AF

＝AB+CN+AF

＝AB+BF+AF

＝2AB，

即AE+EF+AF＝2AB．