Question

圖1是李晨在一次課外活動(dòng)中所做的問題研究：他用硬紙片做了兩個(gè)三角形，分別為△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=6

2

，∠F=90°，∠EDF=30°，EF=2．將△DEF的斜邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動(dòng)．在移動(dòng)過程中，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上（移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合）．
（1）請(qǐng)回答李晨的問題：若CD=10，則AD=

 

；
（2）如圖2，李晨同學(xué)連接FC，編制了如下問題，請(qǐng)你回答：
①∠FCD的最大度數(shù)為

 

；
②當(dāng)FC∥AB時(shí)，AD=

 

；
③當(dāng)以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且FC為斜邊時(shí)，AD=

 

；
④△FCD的面積s的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=

2

BC，再根據(jù)AD=AC-CD計(jì)算即可得解；
（2）①根據(jù)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角可得∠DEF＞∠FCD，然后判斷出點(diǎn)C、E重合時(shí)∠FCD最大；
②過點(diǎn)F作FH⊥DE于H，然后求出∠EFH=∠EDF=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得EH=

1

2

EF，DE=2EF，然后求出DH，再利用勾股定理列式求出FH，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠FCD=∠A=45°，從而判斷出△CFH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CH=FH，然后根據(jù)AD=AC-CH-DH計(jì)算即可得解；
③設(shè)AD=x，表示出CH，然后利用勾股定理列式表示出FC²，再利用勾股定理列出方程求解即可；
④根據(jù)三角形的面積列式表示出S，再根據(jù)CD的取值范圍求解即可．

解答：（1）解：∵∠B=90°，∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC=6

2

，
∴AC=

2

BC=

2

×6

2

=12，
∵CD=10，
∴AD=AC-CD=12-10=2；

（2）解：①∵∠F=90°，∠EDF=30°，
∴∠DEF=90°-30°=60°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠DEF＞∠FCD，
∴點(diǎn)C、E重合時(shí)∠FCD最大，
此時(shí)，∠DEF=∠FCD=60°；

②過點(diǎn)F作FH⊥DE于H，
∵∠DFE=90°，
∴∠EFH=∠EDF=30°，
∴EH=

1

2

EF=

1

2

×2=1，DE=2EF=2×2=4，
由勾股定理得，F(xiàn)H=

EF2-EH2

=

22-12

=

3

，
DH=DE-EH=4-1=3，
∵FC∥AB，
∴∠FCD=∠A=45°，
∴△CFH是等腰直角三角形，
∴CH=FH=

3

，
∴AD=AC-CH-DH=12-

3

-3=9-

3

；

③設(shè)AD=x，則CH=AC-AD-DH=12-x-3=9-x，
在Rt△CFH中，F(xiàn)C²=FH²+CH²=（

3

）²+（9-x）²，
由勾股定理得，AD²+BC²=FC²，
即x²+（6

2

）²=（9-x）²，
解得x=

2

3

；

④△FCD的面積s=

1

2

CD•FH=

3

2

CD，
∵D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上，
∴4≤CD≤12，
∴2

3

≤s≤6

3

．
故答案為：（1）2；（2）①60°；②9-

3

；③

2

3

；④2

3

≤s≤6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似形綜合題，主要利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟記各性質(zhì)并理清各線段與AD的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．