Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A（－3，0）、B（－1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數(shù)y＝kx－4k （k≠0）的圖象過點P交x軸于點Q．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）當點P的坐標為（－4，m）時，求證：∠OPC＝∠AQC；

（3）點M、N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當點M、N中有一點到達Q點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．

①連接AN，當△AMN的面積最大時，求t的值；

②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明你的理由．

Answer 1

（1）y=x2+4x+3；

（2）見解析；

（3）①②能，點P的坐標或

【解析】

試題分析：（1）因為二次函數(shù)的圖象過點A（－3，0）、B（－1，0），所以設(shè)該函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x+3）（x+1） ，把點C（0，3）代入即可；（2）求出點P的坐標，點Q的坐標，可證PC∥OQ，PC=OQ=4，所以四邊形POQC是平行四邊形，得證；（3）①連結(jié)AN，則AM=3t，過點N作NG⊥AQ于點G，證明△QGN∽△QOC，可得NG=，然后根據(jù)三角形的面積公式可得S與時間t的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可解決問題；②猜想：直線PQ能垂直平分線段MN ，然后根據(jù)條件求出直線PQ的函數(shù)關(guān)系式為 ，然后求直線PQ與拋物線的交點坐標即可.

試題解析：【解析】
（1）∵二次函數(shù)的圖象過點A（－3，0）、B（－1，0），∴設(shè)該函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x+3）（x+1）

又∵函數(shù)的圖象過點C（0，3），∴3a=3， a=1

∴二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為y=（x+3）（x+1），即y=x2+4x+3 （3分）

（2）∵點P的坐標為（－4，m），∴（－4）2+4×（－4）+3=m，得m=3，則點P的坐標為（－4，3）

又點C的坐標為（0，3），∴PC∥OQ ， PC=4

∵Q是一次函數(shù)y=kx－4k的圖象與x軸的交點，∴當y=0時，kx－4k=0，即k（x－4）=0

∵k≠0， ∴x=4，∴點Q的坐標為（4，0）

∵PC=OQ=4，∴四邊形POQC是平行四邊形，∴∠OPC=∠AQC （6分）

（3）①連結(jié)AN，則有AM=3t，CN=t∵點C的坐標為C（0，3）， ∴OC=3

由（2）得OQ=4， ∴CQ=5，∴QN=5－t

過點N作NG⊥AQ于點G，

則△QGN∽△QOC，∴，，∴NG=

∴△AMN的面積為S與時間t的函數(shù)關(guān)系式為即

∵點M從點A運動到點Q需秒，點N從點C運動到點Q需5秒，∴點M先到達點Q，即

∵當時，S隨著t的增大而增大，∴當△AMN的面積最大時， （9分）

②直線PQ能垂直平分線段MN

當NQ=MQ，且PQ與MN的交點H是MN的中點時，PQ垂直平分線段MN，

∵QN=5－t，MQ=7－3t，則5－t=7－3t， ∴t=1

即t=1，且PQ與MN的交點H是MN的中點時，直線PQ垂直平分線段MN，

此時NQ=MQ=4，點M的坐標為（0，0）

由①可得

，

∴， ∴點N的坐標為（，）

∴線段MN的中點H的坐標為（，）

∴

∴線段MN的垂直平分線段PQ的函數(shù)關(guān)系式為

∵點P是直線PQ與拋物線y=x2+4x+3的公共點，∴

解得 ，，

∴點P的坐標為或 （12分）

考點：1.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；2.平行四邊形的判定與性質(zhì)；3.相似三角形的判定與性質(zhì)；4.函數(shù)的交點坐標.