Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b、c的值，從而得到拋物線的解析式，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，當(dāng)與BC平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離最大，此時(shí)△BDC的面積最大，然后聯(lián)立直線與拋物線解析式，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x的值，即可得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后代入直線BC的解析式求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），C（0，3），
∴

-1-b+c=0 c=3

，
解得

b=2 c=3

，
∴y=-x²+2x+3，
令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則

3k+b=0 b=3

，
解得

k=-1 b=3

，
所以，直線BC的解析式為y=-x+3，
過點(diǎn)D作BC的平行直線，設(shè)解析式為y=-x+d，
聯(lián)立

y=-x+d y=-x2+2x+3

，
消掉y得，-x²+2x+3=-x+d，
整理得，x²-3x-3+d=0，
當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離最大，△BDC的面積最大，
所以，x=-

-3

2×1

=

3

2

，
∵PD∥y軸，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

3

2

，
此時(shí)y=-

3

2

+3=

3

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）．
故答案為：（

3

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的性質(zhì)，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（二次函數(shù)解析式與直線解析式），聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，平行直線的解析式的k值相等，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，二次函數(shù)的最大值問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．