Question

【題目】如圖1，直線PQ的同側(cè)有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)T在直線PQ上，若∠MTP=∠NTQ，則稱(chēng)點(diǎn)M，N為關(guān)于直線PQ的衍射點(diǎn)．如圖2，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=BC，連接AE交CD于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)P，連接BF，CP．

(1)求證：點(diǎn)A，B是關(guān)于直線CD的衍射點(diǎn)．

(2)若點(diǎn)C，F是關(guān)于直線BD的衍射點(diǎn)，CP=2PF=2，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）6

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)得∠BCD=90°,因?yàn)?/span>BC=CE,可得FB=FE,故可得∠BFC=∠EFC,，再由∠AFD=∠EFC可得∠AFD=∠BFC進(jìn)而得到結(jié)論；

（2）首先證明△ADF≌△ECF得出F點(diǎn)是DC的中點(diǎn)，再證明△DPF∽△BPA求得，進(jìn)而得出AP=CP，再證明△ABP≌△CBP得出AB=BC, 作PQ⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，運(yùn)用勾股定理求出AQ的長(zhǎng)以及BQ的長(zhǎng)，從而可得AB的長(zhǎng).

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，

∵BC=CE,

∴FC垂直平分BE，

∴BF=EF，

∴∠BFC=∠EFC,

∵∠AFD=∠EFC,

∴∠AFD=∠BFC,

∴點(diǎn)A，B是關(guān)于直線CD的衍射點(diǎn);

（2）∵BC=CE,

又∵BC=AD，

∴CE=AD

在△ADF和△ECF中，

∴△ADF≌△ECF,

∴DF=CF=,

∵DF∥AB,

∴△DPF∽△BPA

∴,即

∴,

∵,

∴AP=CP,

又∵點(diǎn)C，F是關(guān)于直線BD的衍射點(diǎn)，

∴∠BPC=∠DPF,

∵∠DPF=∠APB,

∴∠BPC=∠APB,

∵AP=PC,BP=BP,

∴△ABP≌△CBP,

∴∠ABP=∠CBP,AB=BC,

又∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°,

∴∠ABP=,

作PQ⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，

在Rt△BPQ中，BQ=PQ,

設(shè)BQ=x，∴PQ=x，

∵,

∴,即,

∴AQ=x，

在Rt△APQ中，,

∴

解得，

∴BQ=4,AQ=2,

∴AB=BQ+AB=4+2=6.