Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且與直線相交于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸與拋物線交于點(diǎn)，則是否存在以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）；坐標(biāo)為或或或.

【解析】

（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，
（2）聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長(zhǎng)度，當(dāng)△MON和△ABC相似時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)可得或，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)

解：（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴設(shè)拋物線解析式為，

又拋物線過(guò)原點(diǎn)，∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：，

即.

（2）聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，

解得：或，

∴，；

（3）存在；坐標(biāo)為或或或.

理由：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，

設(shè)，則，

∴，，

由（2）知，，，

∵軸于點(diǎn)，

∴，

∴當(dāng)和相似時(shí)，有或，

①當(dāng)時(shí)，

∴，即，

∵當(dāng)時(shí)、、不能構(gòu)成三角形，

∴，

∴，

∴，

解得：或，

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為：或；

②當(dāng)時(shí)，

∴，

即，

∴，

∴，

解得：或，

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為：或，

綜上可知，在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為：或或或.