Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的邊長(zhǎng)為AO=6，AC=8；

（1）如圖①，E是OB的中點(diǎn)，將△AOE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形AOBC內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)G．求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）定義：若以不在同一直線上的三點(diǎn)中的一點(diǎn)為圓心的圓恰好過(guò)另外兩個(gè)點(diǎn)，這樣的圓叫做黃金圓．如圖②，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A沿線段CA運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒4個(gè)單位的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)C沿線段OC運(yùn)動(dòng)；求：當(dāng)PQC三點(diǎn)恰好構(gòu)成黃金圓時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）首先利用翻折變換的性質(zhì)得出：△AOE≌△AFE，進(jìn)而利用HL得出Rt△EFG≌Rt△EBG，進(jìn)而求出CG和BG的長(zhǎng)即可得出答案；
（2）分別根據(jù)當(dāng)點(diǎn)C為好圓的圓心時(shí)，則CQ=CP，當(dāng)點(diǎn)P為圓的圓心時(shí)，則PC=PQ，當(dāng)點(diǎn)Q為圓心時(shí)，則QC=PQ，利用勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）如圖①，連接EG，
由題意得：△AOE≌△AFE，
∴∠EFG=∠OBC=90°，
又∵E是OB的中點(diǎn)，
∴EG=EG，EF=EB=4．
在Rt△EFG和Rt△EBG中

EG=EG EF=EB

∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），
∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，
∴△AOE∽△AEG，
∴AE²=AO?AG，
即36+16=6×AG，AG=

26

3

，
可得：CG=

10

3

，BG=

8

3

．
∴G的坐標(biāo)為（8，

8

3

）；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，
當(dāng)點(diǎn)C為圓心時(shí)，則CQ=CP，
即：2t=10-4t，
得到t=

5

3

，
此時(shí)CP=2×

5

3

=

10

3

，AP=8-

10

3

=

14

3

，
P點(diǎn)坐標(biāo)為(

14

3

，6)．         
當(dāng)點(diǎn)P為圓心時(shí)，則PC=PQ，
如圖②，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線交AC于點(diǎn)E，CQ=10-4t，CP=2t，
∵EQ∥AO，
∴△CEQ∽△CAO，
∴EQ=

3

5

CQ=

3

5

(10-4t)=6-

12

5

t，
PE=

4

5

(10-4t)-2t=8-

26

5

t，
則(6-

12

5

t)2+(8-

26

5

t)2=(2t)2，
化簡(jiǎn)得：36t²-140t+125=0，
解得：t1=

25

18

，t2=

5

2

（舍去），
此時(shí)，AP=8-

25

18

×2=

47

9

，P點(diǎn)坐標(biāo)為(

47

9

，6)，
當(dāng)點(diǎn)Q為圓心時(shí)，則QC=PQ，
如備用圖，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線交AC于點(diǎn)F，CQ=10-4t，CP=2t，
∵EQ∥AO，
∴△CFQ∽△CAO，
∴QF=

3

5

(10-4t)=6-

12

5

t，
PF=2t-

4

5

(10-4t)=

26

5

t-8．
則 (6-

12

5

t)2+(

26

5

t-8)2=(10-4t)2，
整理得

21

5

t2-8t=0，
解得：t1=

40

21

，t2=0（舍去）．
此時(shí)，AP=8-

40

21

×2=

88

21

，P點(diǎn)坐標(biāo)為(

88

21

，6)，
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(

14

3

，6)，(

47

9

，6)，(

88

21

，6)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．