【題目】如圖,在平面直角坐標系中,函數(shù)y=﹣x+2的圖象與x軸,y軸分別交于點A,B,與函數(shù)y=x+b的圖象交于點C(﹣2,m).
(1)求m和b的值;
(2)函數(shù)y=x+b的圖象與x軸交于點D,點E從點D出發(fā)沿DA方向,以每秒2個單位長度勻速運動到點A(到A停止運動).設點E的運動時間為t秒.
①當△ACE的面積為12時,求t的值;
②在點E運動過程中,是否存在t的值,使△ACE為直角三角形?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)m的值是4,b的值是;(2)①當△ACE的面積為12時,t的值是5;②存在,當t=4或t=6時,△ACE是直角三角形.
【解析】
(1)將點C坐標代入直線y=﹣x+2中即可求出m的值,從而求出點C的坐標,然后將點C的坐標代入y=x+b中即可求出b的值;
(2)①根據(jù)兩個一次函數(shù)的解析式分別求出點A、B、D的坐標,從而求出AD,由題意可得,DE=2t,則AE=16﹣2t,然后利用三角形的面積公式列出方程即可求出t的值;
②根據(jù)直角三角形直角頂點的情況分類討論:當∠ACE=90°時,AC⊥CE,根據(jù)平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式即可求出AC,證出△ACE為等腰直角三角形即可求出AE然后列方程即可求出t;當∠CEA=90°時,證出△ACE為等腰直角三角形即可求出AE然后列方程即可求出t.
(1)∵點C(﹣2,m)在直線y=﹣x+2上,
∴m=﹣(﹣2)+2=2+2=4,
∴點C(﹣2,4),
∵函數(shù)y=x+b的圖象過點C(﹣2,4),
∴4=×(﹣2)+b,得b=,
即m的值是4,b的值是;
(2)①∵函數(shù)y=﹣x+2的圖象與x軸,y軸分別交于點A,B,
∴點A(2,0),點B(0,2),
∵函數(shù)y=x+的圖象與x軸交于點D,
∴點D的坐標為(﹣14,0),
∴AD=16,
由題意可得,DE=2t,則AE=16﹣2t,
∵△ACE的面積為12,點C的坐標為(﹣2,4),
∴=12,
解得,t=5
即當△ACE的面積為12時,t的值是5;
②當t=4或t=6時,△ACE是直角三角形,
理由:當∠ACE=90°時,AC⊥CE,
∵點A(2,0),點B(0,2),點C(﹣2,4),點D(﹣14,0),
∴OA=OB,AC=4,
∴∠BAO=45°,
∴∠CAE=45°,
∴∠CEA=45°,
∴CA=CE=4,
∴△ACE為等腰直角三角形
∴AE=8,
∵AE=16﹣2t,
∴8=16﹣2t,
解得,t=4;
當∠CEA=90°時,
∵AC=4,∠CAE=45°,
∴△ACE為等腰直角三角形
∴AE=4,
∵AE=16﹣2t,
∴4=16﹣2t,
解得,t=6;
由上可得,當t=4或t=6時,△ACE是直角三角形.
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,M是AB延長線上一點,N是CA延長線上一點,且∠MDN=60°.試探BM,MN,CN之間的數(shù)量關系,并給出證明.
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【題目】(1)如圖1,結(jié)合函數(shù)的圖象填空:隨的增大而___________,當時,該函數(shù)的最大值為_________,最小值為_________.
(2)根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗來探究函數(shù)的最小值.
①若點和點是該函數(shù)圖象上的兩點,則_________;
②在平面直角坐標系中描出以上表中各對對應值為坐標的點,并根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;
③由圖象可知,函數(shù)的最小值為___________.
(3)請結(jié)合的取值范圍判斷方程的解的個數(shù).(直接寫出結(jié)果)
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【題目】如圖,為直徑,是上一點,于點,弦與交于點,過點作,使,交的延長線于點.過點作的切線交的延長線于點.
(1)求證:是的切線;
(2)若,,求弧的長;
(3)若,,求的長.
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【題目】某學校開展“書香校園”活動以來,受到同學們的廣泛關注,學校為了解全校學生課外閱讀的情況,隨機調(diào)查了部分學生在一周內(nèi)借閱圖書的次數(shù),并制作了不完整的統(tǒng)計圖表.
學生借閱圖書的次數(shù)統(tǒng)計表
借閱圖書的次數(shù) | 0次 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次及以上 |
人數(shù) | 6 | 15 | a | 12 | 9 |
學生借閱圖書的次數(shù)扇形統(tǒng)計圖
請你根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息,解答下列問題:
(1)a= ,b= ;
(2)該樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 次,眾數(shù)是 次;
(3)請計算扇形統(tǒng)計圖中“3次”所對應的扇形圓心角的度數(shù);
(4)若該校共有2400名學生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計該校學生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù).
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【題目】如圖,已知直線l:y=x,過點A1(1,0)作x軸的垂線交直線l于點B1,以A1B1為邊作正方形A1B1C1A2,過點A2作x軸的垂線交直線l于點B2,以A2B2為邊作正方形A2B2C2A3,…;則點A5的坐標為_____,點Cn的坐標為_____.
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【題目】湖南師大附中組織集團校內(nèi)七、八、九年級學生參加“12KM”作文比賽,該校將收到的參賽作文進行分年級統(tǒng)計,繪制了如圖1和如圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖,根據(jù)圖中提供的信息完成以下問題.
(1)扇形統(tǒng)計圖中九年級參賽作文篇數(shù)對應的圓心角是 度.八年級參賽作文篇數(shù)對應的百分比是 .
(2)請補全條形統(tǒng)計圖.
(3)經(jīng)過評審,全集團校內(nèi)有4篇作文榮獲特等獎,其中一篇來自九年級,學校準備從特等獎作文中任選兩篇刊登在校報上,請利用畫樹狀圖或列表的方法求出九年級特等獎作文被選登在校報上的概率.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C在AB的延長線上,CD切⊙O于點D.若∠C =45°,AB=8.
(1)求BC的長;
(2)求陰影部分的面積(結(jié)果保留π).
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