如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線與x軸,y軸分別交于B,C兩點(diǎn),拋物線經(jīng)過B,C兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0<t<5)秒.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)以O(shè)C為直徑的⊙O′與BC交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),PM與⊙O′相切?請(qǐng)說明理由.

(3)在點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)P相同.

①記△BPQ的面積為S,當(dāng)t為何值時(shí),S最大,最大值是多少?

②是否存在△NCQ為直角三角形的情形?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,請(qǐng)說明理由.


解答:

解:(1)在y=﹣x+9

中,令x=0,得y=9;令y=0,得x=12.

∴C(0,9),B(12,0).

又拋物線經(jīng)過B,C兩點(diǎn),∴,解得

∴y=﹣x2+x+9.

于是令y=0,得﹣x2+x+9=0,

解得x1=﹣3,x2=12.∴A(﹣3,0).

(2)當(dāng)t=3秒時(shí),PM與⊙O′相切.連接OM.

∵OC是⊙O′的直徑,∴∠OMC=90°.∴∠OMB=90°.

∵O′O是⊙O′的半徑,O′O⊥OP,∴OP是⊙O′的切線.

而PM是⊙O′的切線,∴PM=PO.∴∠POM=∠PMO.

又∵∠POM+∠OBM=90°,∠PMO+∠PMB=90°,∴∠PMB=∠OBM.∴PM=PB.

∴PO=PB=OB=6.∴PA=OA+PO=3+6=9.此時(shí)t=3(秒).

∴當(dāng)t=3秒,PM與⊙O′相切.

(3)①過點(diǎn)Q作QD⊥OB于點(diǎn)D.

∵OC⊥OB,∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴=

又∵OC=9,BQ=3t,BC=15,∴=,解得QD=t.

∴S△BPQ=BP•QD=.即S=

S=.故當(dāng)時(shí),S最大,最大值為

②存在△NCQ為直角三角形的情形.

∵BC=BA=15,∴∠BCA=∠BAC,即∠NCM=∠CAO.

∴△NCQ欲為直角三角形,∠NCQ≠90°,只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°兩種情況.

當(dāng)∠NQC=90°時(shí),∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO,

∴△NCQ∽△CAO.∴=.∴=,解得t=

當(dāng)∠QNC=90°時(shí),∠QNC=∠COA=90°,∠QCN=∠CAO,

∴△QCN∽△CAO.∴=.∴=,解得

綜上,存在△NCQ為直角三角形的情形,t的值為


練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,⊙O和⊙O′相交于A、B兩點(diǎn),且OO’=5,OA=3, O’B=4,則AB=( )

A、5    B、2.4    C、2.5     D、4.8

 


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    (1)求購買一套A型課桌凳和一套B型課桌凳各需多少元?

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下列計(jì)算正確的是( 。

 

A.

B.

(x+y)2=x2+y2

C.

(﹣3x)3=﹣9x3

D.

﹣(x﹣6)=6﹣x

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一個(gè)圓錐的母線長為4,側(cè)面積為8π,則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是 

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如圖,△ABC中,已知AB=8,∠C=90°,∠A=30°,DE是中位線,則DE的長為( 。

 

A.

4

B.

3

C.

D.

2

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今秋,某市白玉村水果喜獲豐收,果農(nóng)王燦收獲枇杷20噸,桃子12噸.現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批水果全部運(yùn)往外地銷售,已知一輛甲種貨車可裝枇杷4噸和桃子1噸,一輛乙種貨車可裝枇杷和桃子各2噸.

(1)王燦如何安排甲、乙兩種貨車可一次性地運(yùn)到銷售地?有幾種方案?

(2)若甲種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)300元,乙種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)240元,則果農(nóng)王燦應(yīng)選擇哪種方案,使運(yùn)輸費(fèi)最少?最少運(yùn)費(fèi)是多少?

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