【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B(3,0),與y軸交于點C(0,3),點D是拋物線的頂點,過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接DB.
(1)求此拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)點M是拋物線上的動點,設點M的橫坐標為m.
①當∠MBA=∠BDE時,求點M的坐標;
②過點M作MN∥x軸,與拋物線交于點N,P為x軸上一點,連接PM,PN,將△PMN沿著MN翻折,得△QMN,若四邊形MPNQ恰好為正方形,直接寫出m的值.
【答案】(1)(1,4)(2)①點M坐標(﹣,)或(﹣,﹣);②m的值為 或
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題;
(2)①根據(jù)tan∠MBA=,tan∠BDE==,由∠MBA=∠BDE,構建方程即可解決問題;②因為點M、N關于拋物線的對稱軸對稱,四邊形MPNQ是正方形,推出點P是拋物線的對稱軸與x軸的交點,即OP=1,易證GM=GP,即|-m2+2m+3|=|1-m|,解方程即可解決問題.
(1)把點B(3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,
得到,解得,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴頂點D坐標(1,4);
(2)①作MG⊥x軸于G,連接BM.則∠MGB=90°,設M(m,﹣m2+2m+3),
∴MG=|﹣m2+2m+3|,BG=3﹣m,
∴tan∠MBA=,
∵DE⊥x軸,D(1,4),
∴∠DEB=90°,DE=4,OE=1,
∵B(3,0),
∴BE=2,
∴tan∠BDE==,
∵∠MBA=∠BDE,
∴=,
當點M在x軸上方時, =,
解得m=﹣或3(舍棄),
∴M(﹣,),
當點M在x軸下方時, =,
解得m=﹣或m=3(舍棄),
∴點M(﹣,﹣),
綜上所述,滿足條件的點M坐標(﹣,)或(﹣,﹣);
②如圖中,∵MN∥x軸,
∴點M、N關于拋物線的對稱軸對稱,
∵四邊形MPNQ是正方形,
∴點P是拋物線的對稱軸與x軸的交點,即OP=1,
易證GM=GP,即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|,
當﹣m2+2m+3=1﹣m時,解得m=,
當﹣m2+2m+3=m﹣1時,解得m=,
∴滿足條件的m的值為或.
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【題目】如圖,已知CD是△ABC中AB邊上的高,以CD為直徑的⊙O分別交CA, CB于點E,F(xiàn),點G是AD的中點.求證:GE是⊙O的切線.
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【題目】為增強學生的身體素質(zhì),教育行政部門規(guī)定學生每天參加戶外活動的平均時間不少于1小時.為了解學生參加戶外活動的情況,對部分學生參加戶外活動的時間進行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結果繪制作成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中共調(diào)查了多少名學生?
(2)補充頻數(shù)分布直方圖;
(3)求表示戶外活動時間 1小時的扇形圓心角的度數(shù).
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【題目】如圖,等邊△ABC中,BM是ABC內(nèi)部的一條射線,且,點A關于BM的對稱點為D,連接AD,BD,CD,其中AD、CD的延長線分別交射線BM于點E,P.
(1)依題意補全圖形;
(2)若ABM ,求BDC 的大小(用含的式子表示);
(3)用等式表示線段PB,PC與PE之間的數(shù)量關系,并證明.
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【題目】已知銳角△ABC,∠ABC=45°,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,交AD于F.
(1)求證:△BDF≌△ADC;
(2)若BD=4,DC=3,求線段BE的長度.
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【題目】《國家學生體質(zhì)健康標準》規(guī)定:體質(zhì)測試成績達到90.0分及以上的為優(yōu)秀;達到80.0分至89.9分的為良好;達到60.0分至79.9分的為及格;59.9分及以下為不及格,某校為了了解九年級學生體質(zhì)健康狀況,從該校九年級學生中隨機抽取了10%的學生進行體質(zhì)測試,測試結果如下面的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖所示。
各等級學生平均分統(tǒng)計表
等級 | 優(yōu)秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
平均分 | 92.1 | 85.0 | 69.2 | 41.3 |
各等級學生人數(shù)分布扇形統(tǒng)計圖
(1)扇形統(tǒng)計圖中“不及格”所占的百分比是 ;
(2)計算所抽取的學生的測試成績的平均分;
(3)若所抽取的學生中所有不及格等級學生的總分恰好等于某一個良好等級學生的分數(shù),請估計該九年級學生中約有多少人達到優(yōu)秀等級。
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,點E是弧AC上的一個動點,過點E的切線與AD交于點M.與CD交于點N.
(1)求證:∠MBN=45°;
(2)設AM=x,CN=y,求y關于x的函數(shù)關系式;
(3)設正方形的對角線AC交BM于P,BN于Q,如果AP=m,CQ=n,求m與n之間滿足的關系式.
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【題目】如圖1,已知三角形紙片△ABC和△DEF重合在一起,AB=AC,DE=DF,△ABC≌△DEF.數(shù)學實驗課上,張老師讓同學們用這兩張紙片進行如下操作:
(1)(操作探究1)保持△ABC不動,將△DEF沿射線BC方向平移至圖2所示位置,通過度量發(fā)現(xiàn)BE:CE=1:2,則S△CGE:S△CAB= ;
(2)(操作探究2)保持△ABC不動,將△DEF通過一次全等變換(平移、旋轉或翻折后和△ABC拼成以BC為一條對角線的菱形,請用語言描述你的全等變換過程.
(3)(操作探究3)將兩個三角形按圖3所示放置:點C與點F重合,AB∥DE.保持△ABC不動,將△DEF沿射線DA方向平移.若AB=13,BC=10,設△DEF平移的距離為m.
①當m=0時,連接AD、BE,判斷四邊形ABED的形狀并說明理由;
②在平移的過程中,四邊形ABED能否成為正方形?若能,請求出m的值;若不能,請說明理由.
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