Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，BM是ABC內(nèi)部的一條射線，且，點(diǎn)A關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD，BD，CD，其中AD、CD的延長(zhǎng)線分別交射線BM于點(diǎn)E，P．

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)若ABM ，求BDC 的大�。ㄓ煤�的式子表示）；

(3)用等式表示線段PB，PC與PE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) 60°+;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）正確畫(huà)圖；

（2）根據(jù)對(duì)稱得：BM是AD的垂直平分線，則BA=BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形可得結(jié)論；

（3）在射線PD上截取PF使PF=PB，連接BF，如圖，先證明△BPF是等邊三角形，再證明△BFC≌△BPD，則CF=PD=2PE．根據(jù)線段的和可得結(jié)論．

（1）如圖所示：

（2∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于BM對(duì)稱，∴BM是AD的垂直平分線，∴BA=BD．

∵∠ABM=α，∴∠ABD=2∠ABM=2α．

∵等邊△ABC，∴BA=CB=BD，∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD =60°－，∴∠BDC=∠DCB=（180°∠DBC）=60°+．

（3）結(jié)論：PB=PC+2PE．證明如下：

在射線PD上截取PF使PF=PB，連接BF．

∵BA=BD，∠ABD=，∴∠BDA=∠BAD=90° ．

∵∠BDC=60°+，∴∠PDE=180－（∠BDA+∠BDC）=30°．

∵∠DEP=90°，∴PD=2PE．

∵∠BPF=∠DPE=90°∠PDE=60°，PF=PB，∴△BPF是等邊三角形，∴∠BPF=∠BFP=60°．

∵∠BDC=∠DCB，∴∠BDP=∠BCF．

在△BFC和△BPD中，∵ ，∴△BFC≌△BPD，∴CF=PD=2PE，∴PB= PC+BF=PC+2PE．