Question

16．等腰三角形中一個角為30°，腰長為a，則它的面積為$\frac{1}{4}$a²或$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過點A作AD⊥BC于D，根據等腰三角形三線合一的性質可得BC=2BD，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AD=$\frac{1}{2}$AB，再利用勾股定理列式求出BD，然后根據三角形的面積公式列式計算即可得解；
（2）如圖2，過點B作BD⊥AC于D，根據直角三角形的性質得到BD=$\frac{1}{2}$a，然后根據三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答 解：（1）如圖1，過點A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC=2BD，
∵底角∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
由勾股定理得，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BC=2BD=$\sqrt{3}$a，
∴三角形的面積=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$a×$\frac{1}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．
（2）如圖2，過點B作BD⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{4}$a²，
故答案為：$\frac{1}{4}$a²或$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．

點評 本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，等腰三角形三線合一的性質，熟記性質是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．