Question

如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，經(jīng)過(guò)O，C兩點(diǎn)做拋物線y₁=ax（x﹣t）（a為常數(shù)，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：y₂=kx（k為常數(shù)，k＞0）

（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A　　　　　　，k=　　　　　　；

（2）隨著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)a=時(shí)：

①請(qǐng)你驗(yàn)證：拋物線y₁=ax（x﹣t）的頂點(diǎn)在函數(shù)y=的圖象上；

②當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；

（3）直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)t≤x≤t+4，|y₂﹣y₁|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y₂﹣y₁|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專(zhuān)題】壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)題意易得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的相同，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長(zhǎng)度；把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線OA的解析式來(lái)求k的值；

（2）①求得拋物線y₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后把該坐標(biāo)代入函數(shù)y=，若該點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式y(tǒng)=，即表示該頂點(diǎn)在函數(shù)y=圖象上；反之，該頂點(diǎn)不在函數(shù)y=圖象上；

②如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K．則EK是△ACB的中位線，所以根據(jù)三角形中位線定理易求點(diǎn)E的坐標(biāo)，把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線y₁=x（x﹣t）即可求得t=2；

（3）如圖2，根據(jù)拋物線與直線相交可以求得點(diǎn)D橫坐標(biāo)是+4．則t+4=+4，由此可以求得a與t的關(guān)系式．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（t，4）．

又∵直線OA：y₂=kx（k為常數(shù)，k＞0），

∴4=kt，則k=（k＞0）．

 

（2）①當(dāng)a=時(shí)，y₁=x（x﹣t），其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）．

對(duì)于y=來(lái)說(shuō)，當(dāng)x=時(shí)，y=×=﹣，即點(diǎn)（，﹣）在拋物線y=上．

故當(dāng)a=時(shí)，拋物線y₁=ax（x﹣t）的頂點(diǎn)在函數(shù)y=的圖象上；

 

②如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K．

∵AC⊥x軸，

∴AC∥EK．

∵點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，

∴K為BC的中點(diǎn)，

∴EK是△ACB的中位線，

∴EK=AC=2，CK=BC=2，

∴E（t+2，2）．

∵點(diǎn)E在拋物線y₁=x（x﹣t）上，

∴（t+2）（t+2﹣t）=2，

解得t=2．

 

（3）如圖2，，則x=ax（x﹣t），

解得x=+t，或x=0（不合題意，舍去）．

故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是+t．

當(dāng)x=+t時(shí)，|y₂﹣y₁|=0，由題意得t+4=+t，

∴at=1．

∵y₂﹣y₁=x﹣ax（x﹣t）=﹣ax²+（at+）x=﹣a[x²﹣（t+）x+（+）²]+a（+）²

=﹣a[x﹣（+）]²+a（+）²

∴當(dāng)x=+時(shí)，y₂﹣y₁取得最大值，

又∵當(dāng)x=+t時(shí)，|y₂﹣y₁|=0，

∴當(dāng)+≤x≤+t時(shí)，|y₂﹣y₁|隨x的增大而減��；當(dāng)x≥+t時(shí)，|y₂﹣y₁|隨x的增大而增大．

根據(jù)題意需要滿(mǎn)足當(dāng)t≤x≤t+4，|y₂﹣y₁|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y₂﹣y₁|的值隨x的增大而增大，

∴t≥+可滿(mǎn)足條件，

∵at=1，

∴解得t≥4．

綜上所述，a與t的關(guān)系式及t的取值范圍為at=1（t≥4）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)．解題時(shí)，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．