Question

如圖，已知矩形ABCD，△ABC的內(nèi)切圓，OE⊥AD，OF⊥CD，垂足分別是E，F(xiàn)，求S_{四邊形EOFD}：S_{四邊形ABCD}．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計算題

分析：延長EO交BC于M，延長FO交AB于N，作OH⊥AC于H，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得到OM=ON=OH，易得四邊形BMON為正方形，四邊形ANOE和四邊形OMCF為矩形，則AE=ON，CF=OM，所以AE=OH=CF，接著證明△AEP≌△OHP得到S_△AEP=S_△OHP，同理可得S_△AGF=S_△OGH，于是S_{四邊形EOFD}=S_△AEP+S_{五邊形PGFDE}+S_△CGF=S_△ADC，利用矩形的性質(zhì)得S_{四邊形ABCD}=2S_△ADC，所以S_{四邊形EOFD}：S_{四邊形ABCD}=1：2．

解答：解：延長EO交BC于M，延長FO交AB于N，作OH⊥AC于H，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵OE⊥AD，OF⊥CD，
∴OM⊥BC，ON⊥AB，
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴OM=ON=OH，
∴四邊形BMON為正方形，四邊形ANOE和四邊形OMCF為矩形，
∴AE=ON，CF=OM，
∴AE=OH=CF，
在△AEP和△OHP中，

∠AEP=∠OHP ∠1=∠2 AE=OH

，
∴△AEP≌△OHP（AAS），
∴S_△AEP=S_△OHP，
同理可得△AGF≌△OGH，
∴S_△AGF=S_△OGH，
∴S_{四邊形EOFD}=S_△OHP+S_{五邊形PGFDE}+S_△OGH
=S_△AEP+S_{五邊形PGFDE}+S_△CGF
=S_△ADC，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴S_{四邊形ABCD}=2S_△ADC，
∴S_{四邊形EOFD}：S_{四邊形ABCD}=1：2．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．