Question

請閱讀下列材料：
問題：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，MN是過點(diǎn)A的直線，DB⊥MN于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD．求證：BD+AD=

2

CD．
小明的思考過程如下：要證BD+AD=

2

CD，需要將BD，AD轉(zhuǎn)化到同一條直線上，可以在MN上截取AE=BD，并聯(lián)結(jié)EC，可證△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且∠ACE=∠BCD，由此推出△CDE為等腰直角三角形，可知DE=

2

CD，于是結(jié)論得證．
小聰?shù)乃伎歼^程如下：要證BD+AD=

2

CD，需要構(gòu)造以CD為腰的等腰直角三角形，可以過點(diǎn)C作CE⊥CD交MN于點(diǎn)E，可證△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且AE=BD，由此推出△CDE為等腰直角三角形，可知DE=

2

CD，于是結(jié)論得證．

請你參考小明或小聰?shù)乃伎歼^程解決下面的問題：
（1）將圖1中的直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2和圖3的兩種位置時(shí)，其它條件不變，猜想BD，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一個(gè)圖形加以證明；
（2）在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)∠BCD=30°，BD=

2

時(shí)，CD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE=

2

CB，根據(jù)BE=AB-AE即可證得；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．

解答：解：（1）如圖2，BD-AD=

2

CD．
如圖3，AD-BD=

2

CD．
證明圖2：（ 法一）在直線MN上截取AE=BD，聯(lián)結(jié)CE．
設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F，∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°，
∴∠CAE+∠AFD=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠1+∠BFC=90°．
∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1．
在△ACE和△BCD中

AE=BD ∠CAE=∠1 AC=BC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．          
∴CE=CD，∠ACE=∠BCD．
∴∠ACE-∠ACD=∠BCD-∠ACD，即∠2=∠ACB=90°．
在Rt△CDE中，∵CD²+CE²=DE²，
∴2CD²=DE²，即DE=

2

CD．
∵DE=AE-AD=BD-AD，∴BD-AD=

2

CD．   

（ 法二）如圖2，過點(diǎn)C作CE⊥CD交MN于點(diǎn)E，則∠2=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠2+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD．
設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F，∵DB⊥MN，∴∠ADB=90°．
∴∠CAE+∠AFD=90°，∠1+∠BFC=90°．
∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1．
在△ACE和△BCD中

∠CAE=∠1 AC=BC ∠ECA=∠BCD

，
∴△ACE≌△BCD（ASA）．    
∴CE=CD，AE=BD．
在Rt△CDE中，∵CD²+CE²=DE²，
∴2CD²=DE²，即DE=

2

CD．
∵DE=AE-AD=BD-AD，∴BD-AD=

2

CD．  
證明：如圖3：（ 法一）在直線MN上截取AE=BD，聯(lián)結(jié)CE．
設(shè)AD與BC相交于點(diǎn)F，∵∠ACB=90°，∴∠2+∠AFC=90°．
∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°，∠3+∠BFD=90°．
∵∠AFC=∠BFD，∴∠2=∠3．
在△ACE和△BCD中

AE=BD ∠2=∠3 AC=BC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．          
∴CE=CD，∠1=∠4．
∴∠1+∠BCE=∠4+∠BCE，即∠ECD=∠ACB=90°．
在Rt△CDE中，∵CD²+CE²=DE²，
∴2CD²=DE²，即DE=

2

CD．
∵DE=AD-AE=AD-BD，∴AD-BD=

2

CD． 
（ 法二）如圖3，過點(diǎn)C作CE⊥CD交MN于點(diǎn)E，則∠DCE=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECB，即∠1=∠4．
設(shè)AD與BC相交于點(diǎn)F，∵DB⊥MN，∴∠ADB=90°．
∴∠2+∠AFC=90°，∠3+∠BFD=90°．
∵∠AFC=∠BFD，∴∠2=∠3．
∵∠1+∠ECF=90°，∠ECF+∠4=90°，
∴∠1=∠4，
在△ACE和△BCD中

∠2=∠3 AC=BC ∠1=∠4

，
∴△ACE≌△BCD（ASA）．           
∴CE=CD，AE=BD．
在Rt△CDE中，CD²+CE²=DE²，
∴2CD²=DE²，即DE=

2

CD．
∵DE=AD-AE=AD-BD，
∴AD-BD=

2

CD．     
 
（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，這個(gè)的意思并沒有指明是哪種情況，
∴綜合了第一個(gè)圖和第二個(gè)圖兩種情況
若是第1個(gè)圖：易證△ACE≌△DCB，CE=CD，
∴△ECD為等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBD，
過D作DH⊥CB．則△DHB為等腰直角三角形．
BD=

2

BH，
∴BH=DH=1．
直角三角形△CDH中，
∠DCH=30°，
BH=1，則CH=

3

．
∴CD=

3

+1
若是第二個(gè)圖：過B作BH⊥CD交CD延長線于H．
解法類似上面，CH=

3

，DH=1，CD=

3

-1．
故答案為：

3

±1．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．