【題目】如圖,邊長(zhǎng)為的正方形的對(duì)角線交于點(diǎn),把邊、分別繞點(diǎn)、同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得四邊形,其對(duì)角線交點(diǎn)為,連接.下列結(jié)論:
①四邊形為菱形;
②;
③線段的長(zhǎng)為;
④點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的路徑是線段.其中正確的結(jié)論共有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°以及正方形的四個(gè)角都是直角可得∠BCD′=30°,然后證明A′B∥CD′,進(jìn)而得到四邊形A′BCD′是平行四邊形,再根據(jù)A′B=BC,即可證明四邊形A′BCD′是菱形;
②根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°求出點(diǎn)B到A′D′的距離是A′B的一半,也就是AB的一半,然后根據(jù)正方形的面積公式以及菱形的面積即可證明;
③先求出OA′的長(zhǎng)度,再根據(jù)菱形的對(duì)邊相等,減去正方形的邊長(zhǎng)即可;
④根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),點(diǎn)O以BC的中點(diǎn)為圓心,以BC的一半為半徑逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以得到點(diǎn)O′,所以路徑是弧而非線段.
①根據(jù)題意,∠A′BA=∠D′CD=60°,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
∴∠BCD′=30°,
∴∠A′BC+∠BCD′=60°+90°+30°=180°,
∴A′B∥CD′,
又∵A′B=CD′=AB,
∴四邊形A′BCD′是平行四邊形,
∵AB=BC(正方形的邊長(zhǎng)相等),
∴四邊形A′BCD′是菱形,故本題小題正確;
②∵∠ABA′=60°,AB=2,
∴點(diǎn)B到A′D′的距離是:A′B=AB=1,
∴S四邊形A′BCD=BC(A′B)=2×1=2,
S正方形ABCD=BCAB=2×2=4,
∴S四邊形A′BCD=S正方形ABCD,故本小題正確;
③∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),
∴OA′=A′Bsin60°+BC=2×+×2=+1,
∴OD′=OA′A′D′=+12=1,故本小題正確;
④根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直可得△BCO′是直角三角形,
∴以BC的中點(diǎn)為圓心,以BC的一半為半徑,點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以到達(dá)點(diǎn)O′的位置,經(jīng)過(guò)路徑是弧而不是線段OO′,故本小題錯(cuò)誤.
綜上所述,正確的結(jié)論有①②③共3個(gè).
故選:C.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】聯(lián)想三角形外心的概念,我們可引入如下概念:到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn),叫做此三角形的準(zhǔn)外心.例:已知,則點(diǎn)為的準(zhǔn)外心(如圖).
如圖,為正三角形的高,準(zhǔn)外心在高上,且,求的度數(shù).
如圖,若為直角三角形,,,,準(zhǔn)外心在邊上,試探究的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在我市“青山綠水”行動(dòng)中,某社區(qū)計(jì)劃對(duì)面積為的區(qū)域進(jìn)行綠化,經(jīng)投標(biāo)由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來(lái)完成.已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化面積的2倍,如果兩隊(duì)各自獨(dú)立完成面積為區(qū)域的綠化時(shí),甲隊(duì)比乙隊(duì)少用6天.
(1)求甲、乙兩工程隊(duì)每天各能完成多少面積的綠化;
(2)若甲隊(duì)每天綠化費(fèi)用是1.2萬(wàn)元,乙隊(duì)每天綠化費(fèi)用為0.5萬(wàn)元,社區(qū)要使這次綠化的總費(fèi)用不超過(guò)40萬(wàn)元,則至少應(yīng)安排乙工程隊(duì)綠化多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在中,,,垂足為點(diǎn),是外角的平分線,,垂足為點(diǎn),連接交于點(diǎn).
求證:四邊形為矩形;
當(dāng)滿足什么條件時(shí),四邊形是一個(gè)正方形?并給出證明.
在的條件下,若,求正方形周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知AD是△ABC的角平分線,E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn),連接DE、DF,在不再連接其他線段的前提下,要使四邊形AEDF成為菱形,還需添加一個(gè)條件,這個(gè)條件可以是 ;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,把△ABC紙片沿DE折疊,當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí),
①寫(xiě)出圖中一對(duì)全等的三角形,并寫(xiě)出它們的所有對(duì)應(yīng)角;
②設(shè)的度數(shù)為x,∠的度數(shù)為,那么∠1,∠2的度數(shù)分別是多少?(用含有x或y的代數(shù)式表示)
③∠A與∠1、∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變,請(qǐng)找出這個(gè)規(guī)律.
(2)如圖2,把△ABC紙片沿DE折疊,當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部時(shí),∠A與∠1、∠2的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果發(fā)生變化,求出∠A與∠1、∠2的數(shù)量關(guān)系;如果不發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了保護(hù)環(huán)境和提高果樹(shù)產(chǎn)量,某果農(nóng)計(jì)劃從甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)用汽車(chē)向A、B兩個(gè)果園運(yùn)送有機(jī)化肥,甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)分別可運(yùn)出80噸和100噸有機(jī)化肥,A、B兩個(gè)果園分別需要110噸和70噸有機(jī)化肥.甲倉(cāng)庫(kù)到A、B兩個(gè)果園的路程分別為15千米和25千米,乙倉(cāng)庫(kù)到A、B兩個(gè)果園的路程都是20千米.設(shè)甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往A果園x噸有機(jī)化肥,解答下列問(wèn)題:
(1)甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往B果園 噸有機(jī)化肥,乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往B果園 噸有機(jī)化肥;
(2)若汽車(chē)每噸每千米的運(yùn)費(fèi)為2元,設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求當(dāng)甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往A果園多少噸有機(jī)化肥時(shí),總運(yùn)費(fèi)最?此時(shí)的總運(yùn)費(fèi)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們將如圖所示的兩種排列形式的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別稱作“三角形數(shù)”(如1,3,6,10……) 和“正方形數(shù)”(如1,4,9,16……),在小于200的數(shù)中,設(shè)最大的“三角形數(shù)”為t,最大的“正方形數(shù)”為m,則t+m的值為( 。
A.33B.301C.386D.571
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