Question

如圖1，△ABC內(nèi)接于半徑為4cm的⊙O，AB為直徑，

BC

長為

4π

3

cm．

（1）計算∠ABC的度數(shù)；
（2）設圖1中弓形（陰影部分）面積為S，求出S的值；
（3）將與△ABC全等的△FED如圖2擺放，使兩個三角形的對應邊DF與AC有一部分重疊，△FED的最長邊EF恰好經(jīng)過

AB

的中點M．求證：AF=AB．

Answer 1

考點：圓的綜合題,等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,矩形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關系,弧長的計算,扇形面積的計算,特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題

分析：（1）連結(jié)OC，如圖1．由圓弧長公式可求出∠BOC，進而可以求出∠ABC的度數(shù)．
（2）可采用割補法將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OAC的面積與△OAC的面積之差，只需運用扇形及三角形的面積公式就可解決問題．
（3）連結(jié)OM，過點F作FH⊥AB于點H，如圖2，易證四邊形MFHO是矩形，從而得到FH=OM=

1

2

AB，而在直角△AHF中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得FH=

1

2

AF，就可得到AF=AB．

解答：解：（1）連結(jié)OC，如圖1．
∵

BC

長為

4π

3

cm，⊙O的半徑為4cm，
∴

nπ×4

180

=

4π

3

．
∴n=60，即∠BOC=60°．
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形．
∴∠OBC=60°．
∴∠ABC的度數(shù)為60°．

（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠ABC=60°，
∴AC=AB•sin∠ABC=8×

3

2

=4

3

，
BC=AB•cos∠ABC=8×

1

2

=4．
∴S_△ACB=

1

2

AC•BC=8

3

．
∵點O是AB中點，
∴S_△AOC=

1

2

S_△ACB=4

3

．
∴S=S_扇形OAC-S_△AOC
=

120π×16

360

-4

3

=

16

3

π-4

3

．
∴S的值為（

16

3

π-4

3

）cm²．

（3）證明：連結(jié)OM，過點F作FH⊥AB于點H，如圖2．
∵AB為直徑，∴∠ACB=90°．
∴∠CAB=90°-60°=30°．
∵FH⊥AB，∴FH=

1

2

AF．
∵點M為

AB

的中點，
∴∠AOM=∠BOM．
∵∠AOM+∠BOM=180°，
∴∠AOM=∠BOM=90°．
∵FH⊥AB，即∠AHF=90°，
∴∠AOM=∠AHF=90°
∴OM∥FH．
∵△ABC≌△FED，∴∠BAC=∠EFD=30°．
∴EF∥AB．
∴四邊形MFHO是矩形．
∴FH=OM=

1

2

AB
∴AF=AB．

點評：本題考查了同圓中弧與圓心角的關系、圓弧長及扇形面積公式、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、30°所對的直角邊等于斜邊的一半、全等三角形的性質(zhì)等知識，有一定的綜合性．