Question

已知，Rt△ABC中，AC=BC=24，⊙O和邊BC相切于點(diǎn)D．
（1）如圖，∠C的平分線交邊AB于點(diǎn)O，求證：AC與⊙O相切；
（2）當(dāng)⊙O經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為⊙O與邊AC，AB的另一個(gè)交點(diǎn)，連接EF，若點(diǎn)E正好為AC的三等分點(diǎn)，求線段EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC、OD，作OG⊥AC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一，得出OA=OB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得OD=

1

2

AC，OG=

1

2

BC，從而求得OG=OD，即可證得結(jié)論；
（2）作OM⊥AE，連接OD，先求得四邊形MCDO是矩形，根據(jù)已知求得AE=16，EC=8，根據(jù)垂徑定理求得AAM=ME=8，進(jìn)而求得MC=OD=16，從而求得半徑為16，進(jìn)而求得直徑EN=32，然后解等腰直角三角形的性質(zhì)求得EF．

解答：（1）證明；如圖1，連接OC、OD，作OG⊥AC于E，
∵Rt△ABC中，AC=BC=24，OC平分∠ACB，
∴OA=OB，
∵BC是⊙O的切線，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AC，
∴OD=

1

2

AC，
∵OG⊥AC，
∴OG∥BC，
∴OG=

1

2

BC，
∴OG=OD，
∴OG是⊙O的半徑，
∴AC與⊙O相切；
（2）解：如圖2，作OM⊥AE，連接OD，
∵點(diǎn)E正好為AC的三等分點(diǎn)，
∴AE=

2

3

AC=

2

3

×24=16，
∴EC=8，
∴ME=MA=8，
∴MC=16，
∵BC是切線，
∴OD⊥BC，
∴四邊形MCDO是矩形，
∴OD=MC=16，
∴⊙O的半徑為16，
∴EN=32，
∵Rt△ABC中，AC=BC=24，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠A=∠N=45°，
∵EN是直徑，
∴∠EFN=90°，
∴△EFN是等腰直角三角形，
∴EF=

2

2

EN=

2

2

×32=16

2

．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理等，作出輔助線構(gòu)建矩形是本題的關(guān)鍵．