Question

（本題滿(mǎn)分12分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立刻以原來(lái)的速度沿AB返回．點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止．連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t >0）秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)（未到達(dá)A點(diǎn)），若△APQ ∽△ABC，求t的值；

（2）伴隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)為直線(xiàn)l．

①當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，射線(xiàn)QP交AD邊于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)；

②是否存在t的值，使得直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B？若存在，請(qǐng)求出所有t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）①AE=3；②存在，

【解析】

試題分析：（1）∵△APQ∽△ABC ∴， 即 解得 3分

（2）①如圖①，線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)為l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則AP=AQ，

即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，

過(guò)點(diǎn)Q作QO∥AD交AC于點(diǎn)O，

則∴，

，∴PO=AO－AP=1．

由△APE∽△OPQ，得． 6分

②（�。┤鐖D②，當(dāng)點(diǎn)Q從B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

BQ＝BP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP

∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°

∴∠PBC＝∠PCB CP＝BP＝AP＝t

∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5∴t＝2.5 9分

（ⅱ）如圖③，當(dāng)點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，

過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CB于點(diǎn)G，由△PGC∽△ABC，

得

，BG＝4－=

由勾股定理得，即

，解得． 12分

考點(diǎn): 矩形的綜合運(yùn)用