Question

（本題滿分12分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BA向點A運動，到達A點后立刻以原來的速度沿AB返回．點P，Q運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點C時停止運動，點Q也同時停止．連結PQ，設運動時間為t（t >0）秒．

（1）當點Q從B點向A點運動時（未到達A點），若△APQ ∽△ABC，求t的值；

（2）伴隨著P，Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為直線l．

①當直線l經過點A時，射線QP交AD邊于點E，求AE的長；

②是否存在t的值，使得直線l經過點B？若存在，請求出所有t的值；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）①AE=3；②存在，

【解析】

試題分析：（1）∵△APQ∽△ABC ∴， 即 解得 3分

（2）①如圖①，線段PQ的垂直平分線為l經過點A，則AP=AQ，

即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，

過點Q作QO∥AD交AC于點O，

則∴，

，∴PO=AO－AP=1．

由△APE∽△OPQ，得． 6分

②（�。┤鐖D②，當點Q從B向A運動時l經過點B，

BQ＝BP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP

∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°

∴∠PBC＝∠PCB CP＝BP＝AP＝t

∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5∴t＝2.5 9分

（ⅱ）如圖③，當點Q從A向B運動時l經過點B，

BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，

過點P作PG⊥CB于點G，由△PGC∽△ABC，

得

，BG＝4－=

由勾股定理得，即

，解得． 12分

考點: 矩形的綜合運用